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第一部分　基础精算分布理论3

第1章　基础知识介绍3

1.1 相关数学公式及符号说明3

1.1.1 二项系数3

1.1.2　伽马函数、贝塔函数及Digamma函数4

1.1.3 不完全伽马函数及不完全贝塔函数7

1.2　概率相关知识介绍10

1.2.1　特征函数10

1.2.2　矩与矩母函数10

1.2.3　概率母函数12

1.2.4　概率理论中的各类收敛14

1.3 其他15

第2章　常见的赔付次数分布18

2.1 泊松分布18

2.1.1 左截尾泊松分布20

2.1.2　右截尾泊松分布21

2.2　二项分布22

2.3　负二项分布25

2.4 Logarithmic分布29

2.5 （a,b,0）类31

2.6 （a,b,1）类33

2.7 混合次数模型39

2.7.1　混合泊松分布42

2.7.2　混合二项分布43

2.8　复合次数分布44

2.9　泊松-二项分布49

2.10　Neyman-A分布51

2.11 Polya-Aeppli分布53

2.12　泊松-Pascal分布54

第3章　极大似然估计57

3.1 极大似然估计的定义57

3.2　极大似然估计的性质58

3.3 极大似然估计的有效性62

3.4 特殊情形下的MLE64

3.5 极大似然估计的数值解法67

3.5.1 Newton-Raphson算法67

3.5.2 Fisher得分法69

3.5.3　计数分布极大似然估计的数值解法70

3.5.4　部分复合计数分布的参数初值72

第4章　用于模型拟合的假设检验方法75

4.1 似然比检验75

4.2 Pearsonx2检验78

4.3 其他检验方法79

4.3.1 Kolmogorov-Smirnov检验79

4.3.2　罚似然值法80

4.3.3 Wald检验法81

4.3.4　得分检验法83

第二部分　一维GPSJ赔付次数模型87

第5章 泊松-Tweedie分布类87

5.1 简介87

5.2 预备知识89

5.3 泊松-Tweedie模型90

5.4　从Bayesian方法角度进行分析94

5.5 数值例子95

5.6 结论99

第6章　GPSJ1分布类100

6.1 简介100

6.2 预备知识102

6.2.1 参数混合泊松分布102

6.2.2　几何变换103

6.2.3 ESJ函数类104

6.2.4 EDP变换及IEDP变换110

6.2.5　伪复合泊松分布116

6.3 GPSJ1赔付次数分布类118

6.4 GPSJ1分布类的性质126

6.5 GPSJ1分布类下总赔付额的计算公式131

6.6 GPSJ1的极大似然估计134

6.7 实例139

第7章　GPSJ1分布类的无赔款优待系统141

7.1 简介141

7.2 背景知识142

7.2.1　保费定价原理142

7.2.2　无赔款优待系统的数学模型143

7.2.3 GPSJ1分布类146

7.2.4　参数混合泊松模型148

7.2.5　非参数混合泊松模型149

7.3 GPSJ1下的无赔款优待系统151

7.3.1 GPSJ1过程151

7.3.2　最优无赔款优待系统154

7.3.3　零效用原理下的无赔款优待系统155

7.4 实例156

7.5 结论158

第8章　GPSJ1分布类的稳定性160

8.1 引言160

8.2 无穷阶非同质递归方程162

8.3 经验膨胀因子166

8.4 GPSJ1分布类的稳定性168

8.4.1 三个递归方程稳定性的理论分析168

8.4.2 用模拟方法分析方程的稳定性171

8.5 结论176

第9章　GPSJ1分布类的合成假设检验177

9.1 简介177

9.2 背景知识178

9.3 GPSJ1合成假设检验180

9.4 泊松-逆高斯、SJ分布类合成假设检验183

9.5 实例185

第10章　一类无穷可分分布的合成假设检验187

10.1 简介187

10.2 预备知识188

10.2.1 GPSJ1分布类188

10.2.2 几种用来拟合赔付次数的无穷可分分布190

10.3 一类无穷可分分布192

10.4　合成假设检验195

10.5 实例201

10.6 结论202

第11章　变异系数的区间估计203

11.1 简介203

11.2　渐近分布204

11.3 实例206

11.4 保费的变异系数207

第三部分　多维GPSJ赔付次数模型211

第12章　GPSJ2分布类211

12.1 简介211

12.2 预备知识212

12.2.1 多维几何变换212

12.2.2 ESJ函数类214

12.2.3 GPSJ1分布类215

12.2.4 多维EDP变换及IEDP变换215

12.2.5 多维伪复合泊松分布221

12.3 GPSJ2分布类222

12.4 GPSJ2模型的边缘分布231

12.5　参数的极大似然估计235

12.6 应用实例237

12.7 结论238

第13章　GPSJ2分布类的合成检验240

13.1 简介240

13.2 预备知识242

13.2.1 GPSJ1分布类的定义242

13.2.2 GPSJ2分布类的定义242

13.2.3 GPSJ2分布类的性质243

13.2.4　阶序244

13.3 渐进分布245

13.4 实例249

第四部分　对损失分布尾部特征的研究253

第14章　损失分布的尾部特征253

第15章　用POT方法估计损失分布尾部的效应分析260

15.1 引言260

15.2 极值理论261

15.2.1　广义极值分布261

15.2.2 Fisher-Tippett定理262

15.2.3 广义Pareto分布（GPD）264

15.2.4 PBdH定理264

15.2.5　尾部拟合265

15.2.6　统计特性266

15.3 损失额模型267

15.3.1 背景267

15.3.2 Monte Carlo模拟试验268

15.4　数据分析269

15.4.1　探索性数据分析269

15.4.2　估计形状参数271

15.4.3 对高于临界值的超额数据进行拟合274

15.4.4　有关定价的计算274

15.4.5　对数据的敏感性分析278

15.5　讨论279

附录A 由已知分布产生新分布的方法281

附录B　常见的损失分布285

附录C COPULA的有关理论302

附录D MCMC方法305

参考文献307

表2.1 （a,b,0）所包含的分布32

表2.2 （a,b,1）所包含的分布36

表2.3 （a,b,1）中所包含分布间的关系39

表4.1 Kolmogorov-Smirnov检验临界值80

表5.1 c和ζ的关系91

表5.2　泊松-Tweedie分布类的概率母函数92

表5.3　汽车赔付次数数据96

表5.4　拟合Bühlmann数据组97

表5.5　拟合Hossack等的数据组98

表6.1　赔付次数的统计数据及拟合值140

表6.2　各种模型的拟合效果140

表7.1　赔付次数统计数据及拟合值156

表7.2 GPSJ1分布类的最优BMS157

表7.3　零效用原理下GPSJ1的BMS158

表9.1　赔付次数统计表185

表10.1　赔付次数统计表201

表11.1　赔付次数统计表207

表12.1　观测值和理论值对照表237

表12.2 x2检验对照表238

表13.1　赔付次数统计表250

表15.1　不同临界值下的分位数的估计值273

表15.2　两种不同方案推理的结果比较278

附录C　表1　单参数copula族303

图5.1 数据组1的对应于不同ζ值的x2统计量的值97

图5.2　数据组2的对应于不同ζ值的x2统计量的值98

图6.1 各种类型GPSJ1分布类图解122

图8.1 当λ=0.1508时，参数c和p对？s的影响（B1型）173

图8.2 当p=0.5时，参数c和λ对？s的影响（B1型）173

图8.3 当c=－3.5时，参数p和λ对？s的影响（B1型）174

图8.4 当f(0)=0.86时，参数c和p对？s的影响（B3型）175

图8.5 当f(0)=0.86时，参数c和p对？s的影响（B2型）175

图15.1　样本数据的QQ图270

图15.2　样本均超额函数图271

图15.3　不同临界值对应的形状参数估计值272

图15.4　不同临界值下的0.999th分位数273

图15.5 当临界值u=12时的拟合效果275

图15.6 当临界值u=19时的拟合效果275

图15.7 u=12时尾部的拟合效果276

图15.8 u=19时尾部的拟合效果276

图15.9　不同临界值下超赔层（50,200）的纯分保费278

附录A图1 各种变换下的Beta分布类图解283

附录A图2　各种变换型下的Gamma分布类图解284