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第一章 集1

1.1．隶属1

1.2．包含2

1.3．基本运算2

1.4．基本运算的性质3

1.5．集的积4

1.6．函数5

1.7．映射的复合7

1.8．单射，全射，全单射8

1.9．直接象，逆象10

1.10．族11

1.11．等价关系12

1.12．映射的典型分解15

1.13．序关系16

1.14．上界，最大元素，上确界18

1.15．组合分析21

1.16．集的等势24

1.17．基本逻辑运算26

1.18．量词28

第二章 合成法则30

2.1．定义30

2.2．结合律31

2.3．交换律33

2.4．中性元素34

2.5．逆元素35

2.6．同态38

第三章 群40

3.1．定义40

3.2．子群41

3.3．子群的陪集43

3.4．交换群的商群45

3.5．群的同态46

3.6．同态映射的典型分解48

3.7．作用在集内的群51

第四章 环52

4.1．定义52

4.2．子环，理想55

4.3．交换环的商环56

4.4．环的同态57

4.5．体58

4.6．整环61

4.7．环Z的构造64

第五章 单变量多项式66

5.1．定义66

5.2．多项式的次数69

5.3．多项式按降幂相除69

5.4．多项式的整除性71

5.5．互素多项式74

5.6．两个多项式的公倍式75

5.7．既约多项式76

5.8．多项式函数78

5.9．多项式的根79

5.10．拉格朗日内插公式82

5.11．体C的情况83

5.12．体R的情况85

5.13．多项式的导数88

5.14．按升幂相除90

5.15．复数92

第六章 单变量有理分式100

6.1．定义100

6.2．有理分式的整部103

6.3．分解成简单元素103

6.4．体C的情况107

6.5．体R的情况109

第七章 多变量多项式113

7.1．定义113

7.2．与单变量多项式的关系114

7.3．次数115

7.4．多项式函数116

7.5．齐次多项式的另一种定义117

7.6．导数118

第八章 向量空间121

8.1．定义121

8.2．向量子空间124

8.3．向量商空间126

8.4．线性映射127

8.5．互补向量子空间129

8.6．向量空间的积133

8.7．线性无关136

8.8．向量空间的基138

8.9．基的存在性143

8.10．维数144

8.11．线性映射的秩148

8.12．向量空间？（E，F）150

8.13．向量空间的对偶空间153

8.14．双线性形式157

8.15．非退化双线性形式159

8.16．对偶基163

8.17．正交性165

8.18．转置170

8.19．多重线性形式174

第九章 矩阵176

9.1．定义176

9.2．线性映射的矩阵177

9.3．矩阵的运算180

9.4．方阵182

9.5．行矩阵、列矩阵184

9.6．矩阵的转置185

9.7．可逆矩阵187

9.8．基的变化188

9.9．等价矩阵189

9.10．相似矩阵191

9.11．双线性形式的矩阵192

第十章 行列式193

10.1．置换的符号差193

10.2．交错多重线性形式196

10.3．n维向量空间上的交错n重线性形式198

10.4．向量组关于某个基的行列式200

10.5．E到E内的线性映射的行列式202

10.6．方阵的行列式204

10.7．行列式的分块计算207

10.8．行列式按行或按列展开210

10.9．向量组线性无关的准则213

10.10．矩阵秩的计算214

10.11．实向量空间的定向215

10.12．通常定向空间内的混合积216

10.13．通常定向空间内的向量积218

第十一章 线性方程组221

11.1．定义221

11.2．克莱姆组222

11.3．任意线性方程组224

第十二章 仿射概念226

12.1．仿射子空间226

12.2．仿射子空间的方程227

12.3．仿射子空间的参数表示229

12.4．仿射映射230

12.5．重心233

12.6．凸集237

12.7．仿射空间239

练习244

部分答案与提示282

符号索引294

术语索引297