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第一部分 高等数学1

第一章 函数1

1 函数的有关概念和几种特性1

2 分段函数与积分上限的函数5

第二章 极限 连续 求极限的方法9

1 极限的概念与性质9

1.1 定义9

1.2 基本性质10

2.1 数列xn敛散性的判别11

2 极限的存在与不存在问题11

1.3 与极限的不等式性质有关的若干问题11

2.2 函数y=f(x)的极限的存在与不存在问题12

2.3 证明多元函数z=f(x，y)极限不存在的问题13

3 无穷小量和它的阶14

3.1 无穷小量 极限 无穷大量14

3.2 无穷小量的阶15

3.3 无穷小量阶的运算性质15

3.4 等价无穷小量的重要性质16

3.5 确定无穷小量阶的方法16

4.1 极限的四则运算与幂指数运算法则18

4 求极限的方法18

4.2 用洛必达法则求未定式的极限20

4.3 利用函数的连续性求极限22

4.4 利用变量替换法与两个重要极限求极限23

4.5 利用适当放大缩小法求极限24

4.6 利用函数极限求数列极限26

4.7 递归数列的极限27

4.8 利用定积分求某些和式的极限30

4.9 利用泰勒公式求未定式的极限31

5 函数的连续性及其判断33

5.1 连续性概念33

4.11 求二元函数的极限33

4.10 用数值级数求和法求某些数列的极限33

5.2 间断点的定义与分类34

5.3 连续性运算法则34

5.4 怎样判断函数的连续性34

5.5 二元函数的连续性36

第三章 导数 微分法36

1 导数的概念37

1.1 导数的定义及函数的连续性37

1.2 用导数求某些函数的极限38

2 微分法则39

2.1 内容提要39

2.2 分段函数的情形41

2.3 变限积分的情形45

3 隐函数以及参数方程表示的函数的微分法48

3.1 隐函数的微分法48

3.2 由参数方程表达的函数微分法49

4 某些简单函数的n阶导数51

4.1 应用分解法或归纳法求n阶导数(公式)52

4.2 莱布尼茨公式53

4.3 利用幂级数展式求导53

5 导数的几何意义和物理意义 平面曲线的切线与法线54

5.1 导数的几何意义 平面曲线的切线与法线54

5.2 平面上两相交曲线之间的夹角55

5.3 导数的物理意义56

6 微分的概念及一阶微分形式的不变性 微分在近似计算中的作用58

6.1 微分概念及一阶微分形式的不变性58

6.2 用微分作近似计算59

7.1 内容提要60

7 多元函数的偏导数与全微分概念60

7.2 用定义求偏导数61

8 复合函数偏导数的求法63

9 多元隐函数的微分法67

10 求全微分及全微分在近似计算中的应用70

10.1 多元函数全微分计算70

10.2 近似计算73

11 方向导数 梯度73

11.1 方向导数73

第四章 闭区间上连续函数的性质 微分学的中值定理及其应用76

11.2 梯度76

1 闭区间上连续函数的性质及其应用77

2 微分学中值定理的内容提要77

3 用微分学中值定理进行函数性态研究的内容提要78

3.1 函数的单调性78

3.2 函数的极值78

3.3 函数的最大值、最小值79

3.4 函数图形的凹凸性和拐点79

3.5 曲线的渐近线80

3.6 函数图形的描绘80

4.1 函数单调性的讨论81

4 微分学中值定理的应用题型81

3.7 二元函数的二阶泰勒公式81

4.2 曲线凹凸性的讨论83

4.3 不等式的证明83

4.4 讨论极值和最值问题88

4.5 中值命题的证明89

4.6 方程根的讨论94

4.7 证明函数恒等常数97

4.8 描绘函数图形并利用图形作辅助工具解决有关问题97

1.1 原函数与不定积分的概念99

1 不定积分的内容提要99

第五章 一元积分学99

1.2 不定积分的性质100

1.3 求不定积分的基本公式100

1.4 求不定积分的基本方法101

2 定积分的内容提要110

2.1 定积分的概念和性质 定积分中值定理110

2.2 微积分基本定理 牛顿-莱布尼茨公式112

2.3 定积分的换元法112

2.4 定积分的分部积分法112

2.5 定积分的近似计算法113

3 广义积分内容提要114

3.1 无穷区间上的广义积分(无穷积分)114

3.2 无界函数的广义积分(瑕积分)114

4 定积分的计算115

4.1 计算定积分的基本方法115

4.2 分段函数(包括带绝对值符号的函数)的定积分计算119

4.3 含参数的定积分计算119

5 广义积分的计算120

6.1 定积分等式的证明122

6 定积分证明题122

6.2 定积分不等式的证明125

6.3 定积分中值命题的证明129

6.4 从定积分的信息提取被积函数的信息131

7 变限定积分及其导数131

第六章 向量代数与空间解析几何133

1 向量代数的内容提要133

1.1 向量概念133

1.2 向量的线性运算133

1.3 向量的数量积、向量积和混合积134

1.4 向量运算的坐标表示134

1.5 向量代数的基本题型135

2.1 直线、平面和曲面136

2 空间解析几何的内容提要136

2.2 母线平行于坐标轴的柱面方程及空间曲线在坐标平面上的投影137

2.3 关于平面束的定义及定理137

3 空间解析几何的基本题型138

3.1 求直线与直线、直线与平面、平面与平面间的夹角或讨论∥、⊥和相交关系138

3.2 建立直线、平面、旋转曲面的方程138

3.3 求点到直线、点到平面及异面直线的距离145

3.4 与多元函数微分学联系的综合题146

1 多元函数积分的概念148

第七章 多元函数积分的概念与计算148

1.1 多元积分的定义、几何意义或物理意义149

1.2 两类曲线积分之间的关系 两类曲面积分之间的关系152

2 多元函数积分的存在性与性质154

2.1 多元函数积分的存在性154

2.2 多元函数积分的性质154

3 多元函数积分的计算159

3.1 在直角坐标系中怎样把多元函数积分化为定积分159

3.2 重积分的变量替换167

3.3 怎样应用多元函数积分计算公式及怎样简化多元函数积分的计算173

第八章 多元函数积分学中的基本公式及其应用182

1 多元函数积分学中的基本公式183

1.1 向量场的通量与散度及高斯公式183

1.2 向量场的环量与旋度及斯托克斯公式184

1.3 格林公式185

1.4 向量场的散度与旋度的计算186

2 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数积分的计算188

2.1 应用格林公式计算曲线积分188

2.2 应用高斯公式计算曲面积分191

2.3 应用斯托克斯公式计算曲线积分193

3 平面上曲线积分与路径无关问题194

3.1 ∫LPdx+Qdy与路径无关时的特征194

3.2 怎样判断曲线积分∫LPdx+Qdy是否与路径无关196

3.3 积分与路径无关时如何求I=∫？Pdx+Qdy及求原函数的方法197

第九章 微积分的应用200

1 微分学的某些应用200

1.1 弧微分、曲率和曲率半径200

1.2 求方程近似解的切线法与二分法202

1.3 空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线204

2.1 微元法209

2 积分的应用209

2.2 定积分的几何应用210

2.3 定积分的物理应用219

2.4 重积分、曲线积分和曲面积分的某些应用222

3 最大值与最小值应用问题231

第十章 无穷级数237

1 常数项级数？an的一般事项238

1.1 ？an收敛、和、发散的概念及基本性质238

1.2 用差消法、夹逼法求某些级数的和239

1.4 用基本性质判别级数的收敛性240

1.3 用必要条件判别级数的发散性240

2 正项级数的审敛法241

2.1 估计部分和有界法241

2.2 不同通项比较法242

2.3 比值审敛法243

2.4 根值判别法244

3 交错级数244

4 级数的绝对收敛与条件收敛246

5 函数项级数 幂级数247

5.1 基本概念247

5.2 幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛区域248

5.3 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法252

6 泰勒级数256

6.1 内容提要256

6.2 初等函数的幂级数展开式257

6.3 幂级数在近似计算中的应用259

7 傅里叶级数261

7.1 内容提要261

7.2 求函数的傅里叶系数与傅里叶级数展式264

7.3 计算傅里叶级数在特定点上的值266

1 基本概念268

第十一章 常微分方程268

2 一阶微分方程270

2.1 变量可分离的方程与齐次方程270

2.2 一阶线性方程275

2.3 伯努利方程279

2.4 全微分方程279

2.5 可用简单的变量代换求解的某些微分方程281

3 可降阶的高阶微分方程283

3.1 y(n)=f(x)型的微分方程283

3.2 y″=f(x，y′)型的微分方程284

3.3 y″=f(y，y′)型的微分方程286

4 高阶线性微分方程287

4.1 线性方程解的性质和通解的结构287

4.2 二阶常系数齐次线性微分方程290

4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程293

4.4 包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组299

4.5 欧拉方程301

4.6 微分方程幂级数解法简介302

5 微分方程(或方程组)的简单应用问题304

1 行列式的概念309

第二部分 线性代数309

第一章 行列式309

2 行列式的性质311

3 行列式按行(或列)的展开公式314

4 分块行列式 范德蒙行列式317

4.1 分块行列式317

4.2 范德蒙行列式318

5 行列式的计算318

1.2 矩阵的运算320

1.1 矩阵的概念320

1 矩阵的概念及运算320

第二章 矩阵320

1.3 几类特殊的矩阵324

2 逆矩阵与伴随矩阵326

2.1 可逆矩阵的概念与性质326

2.2 伴随矩阵329

3 初等变换与初等矩阵331

3.1 概念与性质331

3.2 利用初等行变换求逆矩阵333

3.3 利用初等行变换解矩阵方程336

4 矩阵的分块运算338

第三章 向量339

1 向量组的线性关系339

1.1 向量的基本概念339

1.2 向量的线性运算340

1.3 线性组合与线性表示340

1.4 向量组的线性相关与线性无关343

2 向量组的极大无关组与秩 矩阵的秩349

2.1 向量组的极大无关组与秩349

2.2 矩阵的秩351

2.3 秩的计算354

3 向量的内积运算357

3.1 内积的定义及性质357

3.2 正交矩阵358

3.3 施密特正交化359

4 向量空间361

4.1 n维向量空间及其子空间361

4.2 基、维数与坐标361

4.3 基变换、过渡矩阵和坐标变换362

1.1 基本概念363

1 概念与基本性质363

第四章 线性方程组363

1.2 线性方程组解的性质364

1.3 线性方程组解的情况的判别364

1.4 克莱姆法则365

2 齐次线性方程组Ax=O367

2.1 基础解系和通解367

2.2 基础解系的求法368

3 非齐次线性方程组Ax=β371

3.1 通解的结构371

3.2 通解的求法372

1 特征向量与特征值375

1.1 定义与性质375

第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量n阶矩阵的相似关系和对角化375

1.2 特征多项式378

1.3 特征值与特征向量的计算381

2 n阶矩阵的相似关系与对角化383

2.1 n阶矩阵的相似关系383

2.2 n阶矩阵的对角化问题385

3 实对称矩阵的对角化388

1.1 二次型的定义392

第六章 二次型392

1 二次型及其矩阵392

1.2 可逆线性变换替换393

1.3 n阶矩阵的合同关系394

2 二次型的标准化和规范化 惯性指数394

2.1 惯性指数394

2.2 标准化和规范化的方法394

2.3 惯性指数与特征值的关系399

3.2 正定性的判别400

3.1 定义与基本性质400

3 正定二次型与正定矩阵400

第三部分 概率论与数理统计初步404

第一章 概率论404

1 事件和概率404

1.1 最基本的概念404

1.2 事件的关系和运算404

1.3 概率的重要概念405

1.4 计算概率的主要公式405

1.5 解题指南406

1.6 综合题407

2 随机变量410

2.1 随机变量及其分类410

2.2 离散型随机变量410

2.3 连续型随机变量412

2.4 综合题415

3 随机向量417

3.1 随机向量的基本概念417

3.2 离散型随机向量418

3.3 连续型随机向量420

3.4 综合题423

4 概率补遗428

4.1 正态随机向量的几个定理428

4.2 x2分布、t分布和F分布429

4.3 切比雪夫不等式和弱大数定律429

4.4 中心极限定理430

第二章 数理统计431

1 数理统计的基本概念431

1.1 总体与样本431

1.3 正态总体某些统计量的分布432

1.2 统计量432

2 参数估计433

2.1 点估计433

2.2 区间估计435

3 假设检验437

3.1 假设检验的基本点437

3.2 单个正态总体X～N(μ，σ2)的假设检验438

3.3 两个独立正态总体X～N(μ1，σ？)Y～N(μ2，σ？)的假设检验439

3.4 总体分布假设的x2检验439

4 分布函数的分位数440

第三章 综合练习441