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第一部分 数字2

第1章 自然数2

1.1 自然数的公理化定义3

1.2 使用皮亚诺归纳法6

第2章 整数8

2.1 什么是整数8

2.2 自然地构造整数10

第3章 实数14

3.1 实数的非正式定义14

3.2 实数的公理化定义17

3.3 实数的构造性定义20

第4章 无理数与超越数23

4.1 什么是无理数23

4.2 聚焦无理数24

4.3 无理数和超越数有什么意义，为什么它们很重要26

第二部分 有趣的数字30

第5章 零30

5.1 零的历史30

5.2 一个令人生厌的困难数字33

第6章 e：不自然的自然数36

6.1 无处不在的数字36

6.2 e的历史38

6.3 e有什么含义39

第7章 φ：黄金比例41

7.1 什么是黄金比例42

7.2 荒唐的传奇44

7.3 黄金比例真正存在的地方46

第8章 i：虚数48

8.1 i的起源48

8.2 i是做什么的50

8.3 i有什么意义51

第三部分 书写数字56

第9章 罗马数字56

9.1 进位系统56

9.2 这场混乱来自哪里58

9.3 计算很简单（但是算盘更简单）59

9.4 传统的过失63

第10章 埃及分数66

10.1 一场4000年前的数学考试66

10.2 斐波那契的贪婪算法67

10.3 有时美胜过实用69

第11章 连分数70

11.1 连分数简介71

11.2 更干净，更清晰，纯粹是为了好玩73

11.3 作计算75

第四部分 逻辑80

第12章 斯波克先生与不符合逻辑80

12.1 什么是真正的逻辑82

12.2 一阶谓词逻辑83

12.3 展示一些新东西88

第13章 证明、真理和树93

13.1 用树来建立简单的证明94

13.2 零基础的证明96

13.3 家族关系的例子98

13.4 分支证明100

第14章 使用逻辑编程103

14.1 计算家族关系104

14.2 使用逻辑计算109

第15章 时序推理118

15.1 随时间变化的命题119

15.2 CTL擅长什么124

第五部分 集合128

第16章 康托尔对角化：无穷不仅是无穷128

16.1 朴素的集合128

16.2 康托尔对角化132

16.3 不要保持简单和直接136

第17章 公理化集合论：取其精华，去其糟粕139

17.1 ZFC集合论公理140

17.2 疯狂的选择147

17.3 为什么150

第18章 模型：用集合作为搭建数学世界的积木151

18.1 构建自然数152

18.2 从模型到模型：从自然数到整数，以及超越154

第19章 超限数：无限集的计数和排序158

19.1 超限基158

19.2 连续统假设160

19.3 无限何在161

第20章 群论：用集合寻找对称性164

20.1 费解的对称性164

20.2 不同的对称性168

20.3 走入历史170

20.4 对称性之源172

第六部分 机械化数学178

第21章 有限状态机：从简单机器开始178

21.1 最简单的机器178

21.2 实际使用的有限状态机182

21.3 跨越鸿沟：从正则表达式到机器185

第22章 图灵机192

22.1 添加磁带让一切都变得不同193

22.2 变元：模仿机器的机器198

第23章 计算的核心与病态204

23.1 BF：伟大的、光荣的、完全愚蠢的206

23.2 图灵完备还是毫无意义209

23.3 从庄严到荒谬210

第24章 微积分：不是那个微积分，是λ演算213

24.1 写λ演算：几乎就是编程214

24.2 求值：运行218

24.3 编程语言与λ策略221

第25章 数字、布尔运算和递归224

25.1 λ演算是图灵完备的吗224

25.2 计算自身的数字225

25.3 决定？回到Church228

25.4 递归231

第26章 类型，类型，类型：对λ演算建模238

26.1 类型简介239

26.2 证明244

26.3 类型擅长什么246

第27章 停机问题248

27.1 一个杰出的失败249

27.2 是否停机251

参考文献256