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第一部分 反演理论介绍3

第1章 科学与工程领域中的正反演问题3

1.1 不同地球物理场的正反演问题公式化3

1.1.1 重力场6

1.1.2 磁场7

1.1.3 电磁场8

1.1.4 地震波场11

1.2 反演解的存在性与唯一性13

1.2.1 解的存在性13

1.2.2 解的唯一性13

1.2.3 实际唯一性17

1.3 反演解的不稳定性18

参考文献20

第2章 不适定问题及相关解法22

2.1 地球物理学研究方法中的灵敏度与分辨率22

2.1.1 反演问题中一般数学空间的公式22

2.1.2 灵敏度23

2.1.3 分辨率23

2.2 适定与不适定问题的公式化24

2.2.1 适定问题24

2.2.2 有条件的适定问题25

2.2.3 不适定问题的拟解26

2.3 反演解正则化方法的基础27

2.3.1 比较运算符27

2.3.2 稳定泛函29

2.3.3 吉洪诺夫参数泛函31

2.4 稳定泛函族33

2.4.1 回顾稳定泛函33

2.4.2 伪二次函数形式下稳定泛函的表现形式37

2.5 正则化参数的定义39

2.5.1 最优正则化参数选择39

2.5.2 正则化参数选取的L曲线法41

参考文献41

第二部分 反演问题的求解方法45

第3章 离散线性反问题45

3.1 线性最小二乘反问题45

3.1.1 离散线性反问题45

3.1.2 线性系统及其通解46

3.1.3 数据分辨矩阵47

3.2 纯欠定问题的解48

3.2.1 欠定线性方程组48

3.2.2 模型分辨矩阵49

3.3 加权最小二乘法50

3.4 概率论在线性反问题中的应用51

3.4.1 概率论基础51

3.4.2 最大似然估计法52

3.4.3 χ2拟合54

3.5 正则化方法55

3.5.1 吉洪诺夫正则化55

3.5.2 兰乔斯谱分解方法在求解正则化线性反问题中的应用56

3.5.3 综合灵敏度57

3.5.4 模型参数和数据的权矩阵58

3.5.5 可控灵敏度59

3.5.6 线性反问题的正则化逼近解60

3.5.7 利文贝格-马奎特法61

3.5.8 后验估计极大值方法（贝叶斯估计）62

3.6 贝克斯-吉尔伯特方法64

3.6.1 数据分辨矩阵64

3.6.2 扩散函数66

3.6.3 贝克斯-吉尔伯特方法的正则化解67

参考文献68

第4章 线性反问题的迭代解法70

4.1 线性算子方程组及其迭代解法70

4.1.1 线性反问题和欧拉方程70

4.1.2 最小残差法71

4.1.3 线性反问题的最小残差解76

4.2 广义最小残差法78

4.2.1 克雷洛夫子空间算法78

4.2.2 兰乔斯最小残差方法79

4.2.3 广义最小残差法83

4.2.4 用广义最小残差方法解线性反问题86

4.3 线性反问题中的正则化方法87

4.3.1 吉洪诺夫参数化泛函的欧拉方程87

4.3.2 欧拉方程的最小残差解88

4.3.3 参数化泛函欧拉方程的广义最小残差解法90

参考文献92

第5章 非线性反演技术93

5.1 梯度法93

5.1.1 最速下降法93

5.1.2 牛顿法100

5.1.3 共轭梯度法104

5.2 非线性反演问题中的正则化梯度法108

5.2.1 正则化的最速下降法108

5.2.2 正则化牛顿法110

5.2.3 非线性反演问题的近似正则化解111

5.2.4 正则化预条件最速下降法112

5.2.5 正则化的共轭梯度法112

5.3 非线性离散反演问题的正则化解113

5.3.1 非线性最小二乘反演113

5.3.2 非线性正则化最小二乘反演的最速下降法114

5.3.3 非线性正则化最小二乘反演的牛顿法115

5.3.4 非线性正则化最小二乘反演的牛顿法的数值算法115

5.3.5 非线性正则化最小二乘反演的共轭梯度法116

5.3.6 非线性最小二乘反演共轭梯度法的数值算法117

5.3.7 复数欧几里得空间中的非线性最小二乘反演118

5.4 共轭梯度再加权法最优化119

5.4.1 含伪二次函数稳定器的吉洪诺夫参数泛函119

5.4.2 再加权共轭梯度法121

5.4.3 加权模型空间的最小化123

5.4.4 加权模型空间中的RRCG方法124

5.4.5 对数模型空间反演128

参考文献129

第6章 多元反演131

6.1 水平集方法131

6.1.1 形状重建反演问题131

6.1.2 演化方程133

6.1.3 水平集反演的正则化135

6.2 多元反演136

6.2.1 利用多元函数表示模型参数136

6.2.2 多元反演的连续参数化137

6.2.3 转换模型参数空间的正则化共轭梯度反演139

参考文献141

第7章 正则化地球物理反演的分辨率分析142

7.1 线性反演问题的分辨率142

7.2 分辨率密度143

7.3 非线性反演的分辨率145

7.4 利用SLDM方法求取分辨率密度146

参考文献147

第8章 蒙特卡罗法149

8.1 随机搜索方法150

8.1.1 抽样法150

8.1.2 Metropolis算法150

8.2 模拟退火法151

8.2.1 退火过程151

8.2.2 模拟退火法152

8.3 遗传算法153

8.3.1 搜索子空间的选择以及初始种群与个体的创建153

8.3.2 选择中间种群153

8.3.3 交换和变异154

8.3.4 收敛和终止条件155

参考文献155

第9章 多元数据的广义联合反演158

9.1 基于不同模型参数间泛函关系的联合反演158

9.2 交叉梯度法162

9.3 基于格拉姆约束的联合反演163

9.3.1 模型参数的格拉姆空间163

9.3.2 模型参数梯度的格拉姆空间164

9.3.3 模型参数不同变换形式的格拉姆空间165

9.3.4 带有格拉姆稳定因子的多数据集的联合正则化反演166

9.3.5 模型研究168

参考文献171

第三部分 势场反演177

第10章 二维重力场和磁场的积分表示177

10.1 重力场和磁场的基本方程177

10.1.1 三维空间中的重力场和磁场177

10.1.2 重力场和磁场的二维模型178

10.2 基于复变函数理论的势场积分表示180

10.2.1 平面势场的复强度180

10.2.2 重力场的复强度182

10.2.3 磁场的复强度和势182

10.3 二维重力场反演的梯度法183

10.3.1 重力反演中误差泛函最小化的最速下降法183

10.3.2 重加权共轭梯度法的应用185

10.4 二维重力场的偏移187

10.4.1 重力场伴随矩阵的物理意义187

10.4.2 反演问题中的重力场偏移190

10.4.3 重力场偏移的迭代191

10.5 二维磁异常反演的梯度法193

10.5.1 磁势反演193

10.5.2 磁势偏移194

参考文献195

第11章 三维重力、重力张量和总磁场强度数据的偏移成像196

11.1 重力梯度测量数据196

11.2 三维重力及重力梯度测量数据的偏移成像198

11.2.1 重力和重力梯度反演的伴随算子198

11.2.2 三维重力场的伴随算子199

11.2.3 三维重力张量场伴随算子200

11.3 基于偏移的快速密度成像201

11.3.1 快速反演成像的原理201

11.3.2 重力和重力张量场偏移以及三维密度成像202

11.3.3 三维重力场的综合灵敏度203

11.3.4 三维重力张量场的综合灵敏度205

11.4 总磁场强度数据的偏移207

11.4.1 总磁场强度的伴随算子208

11.4.2 总磁场强度的偏移209

11.4.3 总磁场强度的综合灵敏度210

11.4.4 模型研究211

参考文献212

第12章 位势场正、反演的数值方法214

12.1 正演和反演中的数值方法214

12.1.1 三维重力和重力张量数据正演算子的离散形式214

12.1.2 三维磁场正演模拟算子的离散形式215

12.1.3 二维正演模拟算子的离散形式216

12.2 重力和重力张量数据的正则化反演217

12.2.1 二维重力反演数值例子217

12.2.2 合成重力梯度数据的三维反演220

参考文献222

第四部分 电磁反演225

第13章 电磁学理论基础225

13.1 电磁场方程组225

13.1.1 麦克斯韦方程组225

13.1.2 均匀介质的场226

13.1.3 边界条件227

13.1.4 频率域场方程227

13.1.5 似稳电磁场231

13.1.6 波动方程232

13.1.7 磁流和电流的场方程232

13.1.8 静态电磁场233

13.1.9 二维非均匀介质内的场和E与H极化234

13.2 电磁场能流236

13.2.1 辐射条件236

13.2.2 时间域坡印亭定理237

13.2.3 时间域能量不等式238

13.2.4 频率域坡印亭定理239

13.3 电磁场方程解的唯一性定理241

13.3.1 边界值问题241

13.3.2 无界域的唯一性定理241

13.4 电磁场的格林张量242

13.4.1 频率域格林张量242

13.4.2 洛伦兹引理与互易关系243

13.4.3 时域格林张量245

参考文献246

第14章 电磁正演模拟中的积分表示247

14.1 积分方程法247

14.1.1 电磁场中的背景场（正常场）和异常场247

14.1.2 异常场的坡印亭定理和能量不等式248

14.1.3 二维积分方程法249

14.1.4 电磁场二维模型的一阶变分（弗雷歇导数）计算251

14.1.5 三维积分方程法253

14.1.6 电磁场三维模型的一阶变分（弗雷歇导数）计算254

14.1.7 计算弗雷歇导数的不同方法256

14.2 电磁场的线性和非线性积分近似族257

14.2.1 玻恩和玻恩扩展近似258

14.2.2 拟线性近似和张量拟线性方程259

14.2.3 三维电磁场的拟解析解260

14.2.4 二维电磁场的拟解析解262

14.2.5 局部非线性近似263

14.2.6 局部拟线性近似264

14.3 高阶线性和非线性近似266

14.3.1 玻恩级数266

14.3.2 收敛格林算子267

14.3.3 收敛玻恩级数269

14.3.4 收敛格林算子的拟线性近似270

14.3.5 拟线性级数271

14.3.6 一阶和高阶拟线性近似的精确估计272

14.3.7 拟解析级数274

14.4 数值拟合中的积分表示275

14.4.1 模型参数的离散化275

14.4.2 电磁场离散的伽辽金法277

14.4.3 基于矩形基函数的电磁积分方程离散278

14.4.4 收敛积分方程（CIE）法281

14.4.5 收敛积分方程作为预条件的传统积分方程法282

14.4.6 玻恩近似的矩阵形式283

14.4.7 拟线性近似的矩阵形式284

14.4.8 拟解析近似的矩阵形式285

14.4.9 对角化拟解析（DQA）近似286

参考文献288

第15章 电磁反演的积分表示291

15.1 线性反演方法292

15.1.1 过载（异常）电流反演292

15.1.2 伯恩反演293

15.1.3 玻恩近似实现电导率成像294

15.1.4 迭代玻恩反演297

15.2 非线性反演299

15.2.1 非线性反演公式299

15.2.2 弗雷歇导数计算299

15.3 拟线性反演301

15.3.1 拟线性反演原理301

15.3.2 拟线性反演的矩阵表示301

15.4 拟解析反演305

15.4.1 弗雷歇导数的计算305

15.4.2 拟解析反演306

参考文献308

第16章 电磁偏移成像310

16.1 频率域电磁偏移310

16.1.1 基于能流泛函最小化的电磁法反演310

16.1.2 电磁偏移场的积分表达313

16.1.3 能流泛函的梯度方向314

16.1.4 频率域偏移成像315

16.1.5 迭代偏移319

16.2 时间域偏移电磁320

16.2.1 作为求解边值问题解的时间域电磁偏移320

16.2.2 剩余电磁场能流的极小化324

16.2.3 时间域能流泛函的梯度方向325

16.2.4 时间域偏移成像327

16.2.5 时间域迭代偏移329

参考文献330

第17章 电磁法正反演中的微分方程法332

17.1 边值问题的电磁法正演模拟332

17.1.1 场方程和边界条件332

17.1.2 各向异性介质中异常场的公式化335

17.1.3 电磁势方程和边界条件336

17.2 边值问题的有限差分近似337

17.2.1 利用交错网格离散化麦克斯韦方程组338

17.2.2 利用平衡法离散化二阶微分方程340

17.2.3 电磁势微分方程的离散化343

17.2.4 利用频谱兰乔斯分解法求解离散电磁场方程组的线性系统346

17.3 边值问题的有限元解法347

17.3.1 伽辽金法347

17.3.2 精确单元法350

17.3.3 矢量有限元法351

17.4 基于微分方程法的反演354

17.4.1 离散网格上反问题的公式化354

17.4.2 利用有限差分法计算弗雷歇导数355

参考文献356

第18章 波场方程360

18.1 弹性波的基本方程360

18.1.1 弹性体的变形、形变和应力张量360

18.1.2 胡克定律363

18.1.3 均匀各向同性介质的弹性理论动态方程363

18.1.4 纵波和横波365

18.1.5 声波和标量波动方程367

18.1.6 声波方程解的高频近似368

18.2 波场方程的格林函数解369

18.2.1 标量波动方程和相应的亥姆霍兹方程的格林函数解369

18.2.2 格林函数的高频近似372

18.2.3 矢量波动方程的格林张量373

18.2.4 拉梅方程的格林张量374

18.3 基尔霍夫积分公式及其类似375

18.3.1 基尔霍夫积分公式375

18.3.2 拉梅方程的广义基尔霍夫积分公式和矢量波场方程377

18.4 波场方程解的唯一性380

18.4.1 初始值问题380

18.4.2 能量守恒定律381

18.4.3 初值问题解的唯一性383

18.4.4 索末菲辐射条件385

18.4.5 基于辐射条件的波传播问题解的唯一性387

18.4.6 无界域基尔霍夫公式390

18.4.7 弹性波的辐射条件393

参考文献395

第19章 波场理论的积分表达式397

19.1 声波场分析中的积分方程法397

19.1.1 声波场入射和散射（背景和异常）部分的分离397

19.1.2 声波场的积分方程399

19.1.3 互易定理400

19.1.4 声学波场一阶变分（弗雷歇导数）的计算400

19.2 声波场的积分逼近402

19.2.1 玻恩近似402

19.2.2 拟线性近似402

19.2.3 拟解析近似403

19.2.4 局部拟线性近似404

19.2.5 基尔霍夫近似405

19.3 矢量波场分析的积分方程法407

19.3.1 矢量场分离407

19.3.2 矢量波场的积分方程方法408

19.3.3 矢量波场一阶变分（弗雷歇导数）的计算409

19.4 矢量波场的积分近似410

19.4.1 玻恩型近似410

19.4.2 拟线性近似410

19.4.3 矢量波场的拟解析解411

19.4.4 局部拟线性近似412

参考文献413

第20章 全波形反演的积分表示415

20.1 线性反演方法415

20.1.1 声场和矢量波场的玻恩反演416

20.1.2 基于玻恩近似的波场成像417

20.1.3 波场的迭代玻恩反演421

20.1.4 布莱斯通反演421

20.1.5 基尔霍夫近似反演433

20.1.6 旅行时反演问题436

20.2 拟线性反演437

20.2.1 声波场的拟线性反演437

20.2.2 基于布莱斯通方法的局部拟线性反演438

20.3 非线性反演440

20.3.1 非线性全波形反演问题原理440

20.3.2 全波形反演问题的弗雷歇导数算子441

20.4 波场偏移原理443

20.4.1 偏移的几何模型443

20.4.2 逆时波动方程偏移的基尔霍夫积分公式444

20.4.3 瑞利积分446

20.4.4 谱域偏移（斯托尔特法）449

20.4.5 谱偏移算法和积分偏移算法的等价性451

20.4.6 反演与偏移对比452

20.5 弹性场的全波形反演452

20.5.1 弹性场反演问题的公式化453

20.5.2 弹性正演模拟算子的弗雷歇导数454

20.5.3 伴随弗雷歇导数算子与逆时传播弹性场455

参考文献459

附录A 地球物理模型和数据的函数空间462

A.1 欧几里得空间462

A.1.1 欧几里得空间中的向量运算462

A.1.2 欧几里得空间中的线性变换（算子）464

A.1.3 算子的范数464

A.1.4 线性泛函466

A.1.5 泛函的范数466

A.2 尺度空间466

A.2.1 尺度空间的定义466

A.2.2 收敛，柯西序列和完整性467

A.3 线性向量空间468

A.3.1 向量运算468

A.3.2 范数线性空间469

A.4 希尔伯特空间470

A.4.1 内积470

A.4.2 希尔伯特空间中的近似问题473

A.5 复数欧几里得空间和希尔伯特空间474

A.5.1 复数欧几里得空间474

A.5.2 复数希尔伯特空间474

A.6 线性矢量空间的实例475

A.7 格拉姆空间及其属性477

A.7.1 引入一个格拉姆空间477

A.7.2 梯度的格拉姆空间479

A.7.3 函数不同变换的格拉姆空间480

A.7.4 格拉姆稳定泛函481

A.7.5 格拉姆稳定器一阶变分的计算482

A.7.6 计算由模型参数的一组梯度的格拉姆形成的稳定函数的一阶变分482

A.7.7 计算由变换模型参数格拉姆形成的稳定泛函的一阶变分483

附录B 模型和数据空间的算子485

B.1 泛函空间里的算子485

B.2 线性算子486

B.3 逆算子487

B.4 地球物理数据希尔伯特空间的一些近似问题487

B.5 格拉姆-施密特规范正交化过程490

附录C 地球物理模型中的泛函491

C.1 泛函及其规范491

C.2 里斯表示定理491

C.3 地球物理数据和反演问题的泛函表示492

附录D 线性算子和泛函之再探讨495

D.1 伴随算子495

D.2 算子与泛函的微分497

D.3 变分学概念498

D.3.1 变分算子498

D.3.2 泛函的极值问题499

附录E 矩阵代数中的一些公式和法则502

E.1 算子和矩阵的一些公式和法则502

E.2 特征值和特征向量502

E.3 对称矩阵的谱分解503

E.4 奇异值分解504

E.5 兰乔斯谱分解法505

E.5.1 矩阵函数505

E.5.2 兰乔斯法506

附录F 张量微积分的一些公式和法则510

F.1 张量函数的算子的一些公式和法则510

F.2 高斯和格林公式的张量表示511

F.3 拉梅和拉普拉斯算子的高斯张量及向量512