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第一章 函数 极限与连续1

1.1 预备知识1

1.1.1 初等函数1

1.1.2 极限的运算法则4

1.2 无穷小与无穷大 两个重要极限6

1.2.1 无穷小与无穷大6

1.2.2 两个重要极限8

1.3 函数的连续性11

1.3.1 函数连续性的概念11

1.3.2 闭区间上连续函数的性质13

本章小结15

习题一16

第二章 导数与微分18

2.1 导数的概念18

2.1.1 变化率问题举例18

2.1.2 导数的定义19

2.1.3 利用定义求函数的导数20

2.1.4 导数的几何意义21

2.1.5 可导与连续的关系22

2.2 求导法则与求导公式23

2.2.1 导数的四则运算法则23

2.2.2 复合函数的求导法则24

2.2.3 隐函数的求导法则25

2.2.4 高阶导数26

2.3 函数的微分28

2.3.1 微分的定义28

2.3.2 微分的几何意义30

2.3.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则30

2.3.4 微分在近似计算上的应用32

本章小结35

习题二37

第三章 导数的应用40

3.1 拉格朗日中值定理40

3.2 洛必达法则42

3.3 函数单调性与极值44

3.3.1 函数单调性的判定法44

3.3.2 函数的极值及其求法46

3.3.3 函数的最大值和最小值48

3.4 曲线的凹凸性与拐点50

3.5 曲率53

3.5.1 曲率的概念53

3.5.2 曲率的求法54

3.5.3 曲率圆和曲率半径55

本章小结58

习题三59

第四章 不定积分和定积分62

4.1 原函数与不定积分62

4.1.1 原函数62

4.1.2 不定积分概念63

4.1.3 不定积分的性质和意义63

4.1.4 基本积分公式和直接积分法64

4.2 定积分的概念66

4.2.1 两个实例66

4.2.2 定积分的概念68

4.2.3 定积分的性质69

4.2.4 定积分的几何意义70

4.3 微积分基本公式72

4.3.1 积分上限函数及其导数72

4.3.2 牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式72

4.4 基本积分法74

4.4.1 不定积分第一类换元积分法（凑微分法）74

4.4.2 不定积分第二类换元积分法76

4.4.3 定积分的换元积分法77

4.4.4 分部积分法79

4.5 广义积分82

4.5.1 无穷区间上的广义积分的定义82

4.5.2 无穷区间上的广义积分的计算82

本章小结84

习题四87

第五章 定积分的应用90

5.1 微元法及定积分在几何上的应用90

5.1.1 定积分的微元法90

5.1.2 定积分在几何上的应用91

5.2 定积分在物理上的应用95

5.2.1 变力沿直线所作的功95

5.2.2 液体的压力96

5.2.3 函数的平均值97

本章小结99

习题五100

第六章 常微分方程101

6.1 微分方程的概念101

6.2 一阶微分方程102

6.2.1 可分离变量的微分方程103

6.2.2 一阶线性微分方程104

6.3 二阶常系数线性微分方程107

6.3.1 二阶常系数线性微分方程解的结构108

6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法108

6.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法110

本章小结114

习题六115

第七章 多元函数微分117

7.1 空间直角坐标系117

7.1.1 空间直角坐标系117

7.1.2 空间两点间的距离公式118

7.2 空间图形与方程119

7.2.1 曲面方程的概念119

7.2.2 常见空间曲面及其方程119

7.3 多元函数121

7.3.1 平面区域121

7.3.2 多元函数121

7.3.3 二元函数的极限123

7.3.4 二元函数的连续性124

7.4 偏导数125

7.4.1 二元函数偏导数的概念126

7.4.2 求偏导数举例126

7.4.3 复合函数的求导法则128

7.4.4 高阶偏导数129

7.5 全微分130

7.5.1 全微分的定义131

7.5.2 全微分计算132

7.5.3 全微分在近似计算中的应用132

7.6 多元函数的极值133

7.6.1 二元函数极值的概念133

7.6.2 多元函数的最大值与最小值134

7.6.3 条件极值135

本章小结137

习题七139

第八章 多元函数积分141

8.1 二重积分的概念与性质141

8.1.1 二重积分的概念141

8.1.2 二重积分的性质143

8.2 二重积分的计算及应用145

8.2.1 在直角坐标系下计算二重积分145

8.2.2 二重积分的应用148

本章小结153

习题八154

第九章 无穷级数156

9.1 常数项级数156

9.1.1 常数项级数的概念156

9.1.2 级数的简单性质157

9.1.3 级数收敛的审敛法158

9.2 幂级数162

9.2.1 幂级数的概念及其收敛半径162

9.2.2 幂级数的运算性质164

9.3 函数展开成幂级数165

9.4 傅立叶级数167

9.4.1 三角级数167

9.4.2 周期为2π的函数展开为傅立叶级数168

9.5 周期为2L的函数展开成傅立叶级数171

9.5.1 周期为2L的函数展开成傅立叶级数171

9.5.2 将函数展开成正弦级数或余弦级数173

9.6 傅立叶级数的复数形式174

本章小结177

习题九179

第十章 拉普拉斯变换180

10.1 拉普拉斯变换的概念180

10.1.1 拉普拉斯变换的定义180

10.1.2 常见函数拉普拉斯变换182

10.2 拉普拉斯变换的性质183

10.2.1 线性性质183

10.2.2 微分性质183

10.2.3 积分性质184

10.2.4 卷积定理184

10.2.5 其他性质185

10.3 拉普拉斯逆变换187

10.3.1 拉普拉斯逆变换的定义187

10.3.2 拉普拉斯逆变换的性质187

10.4 用拉普拉斯变换解常微分方程189

本章小结192

习题十192

第十一章 线性代数194

11.1 n阶行列式的定义194

11.2 行列式的性质198

11.3 克莱姆法则202

11.4 矩阵的概念及其运算204

11.4.1 矩阵的概念204

11.4.2 矩阵的加、减法和数与矩阵的乘法206

11.4.3 矩阵的乘法208

11.4.4 矩阵的转置211

11.5 逆矩阵213

11.5.1 逆矩阵的概念213

11.5.2 逆矩阵的求法214

11.5.3 逆矩阵的性质215

11.6 矩阵的初等变换与矩阵的秩216

11.6.1 矩阵的初等变换216

11.6.2 用初等变换求逆矩阵举例217

11.6.3 矩阵的秩218

11.7 线性方程组的消元解法220

本章小结225

习题十一225

第十二章 数学软件的应用228

12.1 MATLAB软件简介228

12.1.1 MATLAB的启动和初始界面概述228

12.1.2 MATLAB命令窗口的使用229

12.1.3 MATLAB的算术运算符与操作符230

12.1.4 MATLAB的数值量和数据显示格式232

12.1.5 MATLAB的符号运算工具箱233

12.2 一元函数微积分运算与二维图形的描绘233

12.2.1 用MATLAB求函数的极限233

12.2.2 用MATLAB求函数的导数234

12.2.3 用MATLAB求函数的积分236

12.2.4 用MATLAB描绘二维图形237

12.3 多元函数微积分运算与三维图形的描绘240

12.3.1 用MATLAB求偏导数240

12.3.2 用MATLAB求重积分241

12.3.3 用MATLAB绘制三维图形241

参考答案245

参考文献263