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第1章 概论——凸规划的一般问题与内点法1

1.1 问题表1

1.2 对数障碍法2

1.3 中心路径法5

第2章 线性规划与内点法8

2.1 Newton方法8

2.2 线性规划10

2.3 中心回路12

2.4 本－偶系统的Newton方法16

2.5 正交投影17

2.6 正交投影与Newton步长18

2.7 单个Newton步长分析20

2.8 本－偶短步法22

2.9 从近乎优到最优24

2.10 初始化27

第3章 半定规划与内点法32

3.1 代数与几何的准备32

3.1.1 锥32

3.1.2 矩阵32

3.1.3 范数34

3.1.4 Schur互补集35

3.1.5 线性矩阵不等式36

3.2 半定规划应用举例38

3.3 复杂性43

3.3.1 基本概念43

3.3.2 半定规划与对偶性44

3.3.3 中心路径47

3.3.4 一个本－偶算法54

3.3.5 Newton方向的选择55

3.4 半定规划的锥陈述57

第4章 自协和函数论61

4.1 分析知识的预备——参考内积62

4.1.1 参考内积62

4.1.2 梯度63

4.1.3 Hessian映射66

4.1.4 性68

4.1.5 微积分基本定理71

4.1.6 Newton方法75

4.2 自协和泛函的定义77

4.2.1 内蕴内积77

4.2.2 自协和泛函79

4.3 自协和函数与Newton方法83

4.4 自协和泛函的性质与运算学87

4.5 自协和泛函的等价定义91

4.6 自协和泛函的存在性100

4.6.1 几个一般性概念100

4.6.2 自协和函数的存在性103

第5章 自协和障碍泛函107

5.1 障碍泛函107

5.1.1 引言107

5.1.2 解析中心110

5.1.3 最优障碍泛函111

5.1.4 其他性质112

5.1.5 对数齐性114

5.2 原始算法115

5.2.1 引言115

5.2.2 障碍算法117

5.2.3 长步障碍法121

5.2.4 预报校正法124

第6章 锥规划与对偶性128

6.1 锥规划128

6.2 经典对偶理论131

6.3 共轭泛函138

6.4 中心路径的对偶性143

6.5 自衡（或对称）锥146

6.5.1 引言146

6.5.2 有关记号的一个重要的注148

6.5.3 缩放点148

6.5.4 梯度与模153

6.5.5 一个常用定理158

6.6 Nesterov-Todd方向161

6.7 本-偶循径方法165

6.7.1 逼近的度量165

6.7.2 一个算法168

6.7.3 又一个算法170

6.8 本－偶势归化方法173

6.8.1 势函数173

6.8.2 算法174

6.8.3 分析175

第7章 自协和泛函内点法的一些应用179

7.1 如何构造SCF180

7.1.1 SCB的生成180

7.1.2 单元函数在上境图中的障碍函数183

7.1.3 某些多元函数上境图的障碍函数186

7.1.4 主要定理7.1的证明192

7.2 具体应用的例子194

7.2.1 初步准备194

7.2.2 具有二次约束的二次规划问题197

7.2.3 半定规划199

7.2.4 极大椭球203

参考文献208

附录A 最优化的内点方法218

A.1 引论218

A.2 基于自协和性的内点法220

A.2.1 自协和性221

A.2.2 原始多项式历时循径算法227

A.2.3 锥规划的内点法228

A.2.4 自协和障碍函数的运算学232

A.3 锥最优化234

A.3.1 锥规划问题举例235

A.3.2 锥规划问题的基本内点法238

A.3.3 自衡障碍函数、自衡锥与对称本原算法242

A.3.4 晚近的发展246

A.4 非凸规划的内点法248

A.5 小结249

附录B HLCP与动力系统250

B.1 预备知识250

B.2 投射矩阵与Grassmann流形上的微分方程253

B.3 Riccati型向量微分方程255