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第一章 函数、极限与连续1

第一节 函数1

一、预备知识1

二、函数的概念及表示法2

三、函数的特性5

四、反函数6

五、基本初等函数7

六、复合函数9

七、初等函数10

习题1-111

第二节 极限的概念及性质12

一、数列的极限12

二、函数的极限16

习题1-220

第三节 无穷小与无穷大20

一、无穷小20

二、无穷大22

三、无穷小和无穷大的关系23

习题1-323

第四节 极限的运算法则23

一、极限的运算法则23

二、极限求法举例24

三、复合函数的极限运算法则26

习题1-427

第五节 极限存在准则两个重要极限27

一、极限存在准则27

二、两个重要极限28

习题1-530

第六节 无穷小的比较31

习题1-633

第七节 函数的连续与间断33

一、函数的连续性33

二、函数的间断点35

习题1-736

第八节 初等函数的连续性37

一、连续函数的四则运算法则37

二、反函数的连续性37

三、复合函数的连续性37

四、初等函数的连续性38

习题1-839

第九节 闭区间上连续函数的性质40

习题1-941

本章学习要点41

总复习题一42

第二章 导数与微分44

第一节 导数的概念44

一、问题的提出44

二、导数的概念45

三、单侧导数46

四、几个基本初等函数的导数47

五、导数的几何意义49

六、函数的可导性与连续性的关系49

习题2-150

第二节 四则运算及反函数的求导法则51

一、四则运算的求导法则51

二、反函数的求导法则53

习题2-255

第三节 复合函数的导数及初等函数求导55

一、复合函数的求导法则55

二、初等函数的导数57

习题2-359

第四节 隐函数及参数方程所确定的函数的导数60

一、隐函数的导数60

二、对数求导法61

三、由参数方程所确定的函数的导数62

习题2-463

第五节 高阶导数64

一、显函数的高阶导数求法64

二、隐函数的高阶导数求法66

三、参数方程确定的函数的高阶导数66

习题2-567

第六节 函数的微分及应用67

一、微分的定义67

二、微分的几何意义69

三、微分公式与微分运算法则69

四、微分在近似计算中的应用70

习题2-672

本章学习要点72

总复习题二74

数学家的故事75

第三章 中值定理与导数的应用76

第一节 微分中值定理76

一、罗尔定理76

二、拉格朗日中值定理78

三、柯西中值定理80

习题3-181

第二节 洛必达法则81

一、0/0型未定式81

二、∞/∞型未定式83

三、其他形式的未定式84

习题3-285

第三节 泰勒（Taylor）公式86

一、泰勒公式86

二、麦克劳林公式87

习题3-388

第四节 函数单调性与曲线的凹凸性89

一、函数的单调性89

二、曲线的凹凸性90

三、拐点91

习题3-492

第五节 函数的极值及最值93

一、函数的极值93

二、最值96

习题3-598

第六节 函数图形描绘99

一、渐近线99

二、函数图形描绘100

习题3-6102

本章学习要点102

总复习题三102

数学家的故事104

第四章 不定积分106

第一节 不定积分的基本概念与性质106

一、原函数与不定积分的概念106

二、基本积分表107

三、不定积分的性质108

习题4-1110

第二节 换元积分法110

一、第一类换元积分法110

二、第二类换元积分法115

习题4-2118

第三节 分部积分法119

习题4-3122

第四节 几种特殊函数的不定积分123

一、有理函数积分123

二、三角函数有理武的积分125

三、简单无理函数的积分126

习题4-4127

本章学习要点128

总复习题四128

数学家的故事129

第五章 定积分及其应用130

第一节 定积分的概念与性质130

一、定积分问题举例130

二、定积分的定义132

三、定积分的几何意义133

四、定积分的性质134

习题5-1137

第二节 微积分基本定理137

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系137

二、积分上限的函数及其导数138

三、牛顿—莱布尼茨公式139

习题5-2141

第三节 定积分的计算142

一、定积分的换元积分法142

二、定积分的分部积分法145

习题5-3146

第四节 定积分的近似计算148

一、矩形法148

二、梯形法148

习题5-4150

第五节 定积分的应用150

一、定积分的微元法150

二、平面图形的面积152

三、体积155

四、平面曲线的弧长157

五、在经济学中的应用158

六、变力做功159

习题5-5160

第六节 广义积分162

一、无穷区间上的广义积分162

二、无界函数的广义积分164

习题5-6165

本章学习要点166

总复习题五167

数学家的故事169

第六章 多元函数微分学171

第一节 空间解析几何的基础知识171

一、空间直角坐标系171

二、空间平面173

三、曲面174

四、空间曲线及投影178

习题6-1180

第二节 多元函数的概念181

一、邻域与区域181

二、多元函数的概念182

三、多元函数的极限184

四、多元函数的连续性185

习题6-2186

第三节 偏导数186

一、偏导数的定义及其计算方法186

二、高阶偏导数189

习题6-3190

第四节 全微分及其应用191

一、全微分的概念191

二、全微分在近似计算中的应用193

习题6-4194

第五节 多元复合函数的求导法则194

一、中间函数为一元函数的情形194

二、中间函数为二元函数的情形195

三、一种特殊的情形196

习题6-5197

第六节 隐函数的求导公式197

习题6-6199

第七节 多元函数的极值199

一、多元函数的极值199

二、最大值与最小值201

三、条件极值202

习题6-7203

本章学习要点203

总复习题六205

第七章 二重积分207

第一节 二重积分的概念与性质207

一、二重积分的概念207

二、二重积分的性质209

习题7-1210

第二节 二重积分的计算211

一、直角坐标系下二重积分的计算211

二、极坐标系下二重积分的计算216

习题7-2219

第三节 二重积分的应用220

一、空间几何体的体积220

二、曲面的面积221

三、平面薄片的质量222

习题7-3223

本章学习要点223

总复习题七224

第八章 微分方程226

第一节 微分方程的基本概念226

习题8-1229

第二节 可分离变量的微分方程229

习题8-2232

第三节 齐次方程232

习题8-3234

第四节 一阶线性微分方程234

一、一阶线性微分方程234

二、伯努利方程237

习题8-4238

第五节 可降阶的高阶微分方程239

一、y″=f(x)型的微分方程239

二、y″=f(x,y′)型的微分方程240

三、y″=f(y,y′)型的微分方程241

习题8-5242

第六节 二阶线性微分方程242

一、二阶常系数齐次线性微分方程243

二、二阶常系数非齐次线性微分方程246

习题8-6248

第七节 微分方程模型249

本章学习要点251

总复习题八252

数学家的故事253

第九章 差分方程255

第一节 差分方程的基本概念255

一、差分概念255

二、差分方程256

三、差分方程的解257

习题9-1258

第二节 一阶常系数线性差分方程258

一、一阶常系数齐次线性差分方程259

二、一阶常系数非齐次线性差分方程260

习题9-2262

第三节 二阶常系数线性差分方程262

一、二阶常系数齐次线性差分方程262

二、二阶常系数非齐次线性差分方程264

习题9-3265

第四节 差分方程的简单应用265

一、筹措教育经费方面265

二、分期偿还贷款方面266

习题9-4267

本章学习要点267

总复习题九268

第十章 无穷级数269

第一节 无穷级数的概念与性质269

一、无穷级数的概念269

二、收敛级数的基本性质273

习题10-1274

第二节 常数项级数的审敛法274

一、正项级数及其审敛法274

二、交错级数及其审敛法278

三、绝对收敛与条件收敛279

习题10-2280

第三节 幂级数281

一、函数项级数281

二、幂级数及其收敛性281

三、幂级数的基本性质284

习题10-3286

第四节 函数的幂级数展开286

一、泰勒级数的概念286

二、函数展开成幂级数287

习题10-4291

第五节 函数的幂级数展开式的应用292

一、近似计算292

二、欧拉公式294

习题10-5295

本章学习要点295

总复习题十297

数学家的故事298

第十一章 微积分数学实验300

第一节 MATLAB基本用法300

第二节 函数与极限实验313

第三节 导数与微分实验320

第四节 不定积分、定积分和广义积分实验323

第五节 多元函数微积分实验327

第六节 微分方程实验333

第七节 泰勒级数实验335

习题参考答案339

主要参考文献361