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第1章 绪论1

1.1科学计算的一般过程1

1.1.1对实际工程问题进行数学建模1

1.1.2对数学问题给出数值计算方法1

1.1.3对数值计算方法进行程序设计2

1.1.4上机计算并分析结果2

1.2数值计算方法的研究内容与特点2

1.2.1数值计算方法的研究内容2

1.2.2数值计算方法的特点2

1.3计算过程中的误差及其控制5

1.3.1误差的来源与分类5

1.3.2误差与有效数字6

1.3.3误差的传播8

1.3.4误差的控制9

1.3.5数值算法的稳定性11

1.3.6病态问题与条件数11

习题112

第2章 非线性方程的数值解法14

2.1二分法14

2.1.1二分法的基本思想14

2.1.2二分法及MATLAB程序15

2.2非线性方程求解的迭代法18

2.2.1迭代法的基本思想18

2.2.2不动点迭代法及收敛性18

2.2.3迭代过程的加速方法24

2.2.4 Newton-Raphson方法32

2.2.5割线法与抛物线法42

2.3非线性方程求解的MATLAB函数46

2.3.1 MATLAB中求方程根的函数46

2.3.2用MATLAB中函数求方程的根46

习题247

第3章 线性方程组的数值解法50

3.1向量与矩阵的范数50

3.1.1向量的范数50

3.1.2矩阵的范数53

3.1.3方程组的性态条件数与摄动理论56

3.2直接法58

3.2.1 Gauss消去法及MATLAB程序58

3.2.2矩阵的三角（LU）分解法70

3.2.3矩阵的Doolittle分解法及MATLAB程序74

3.2.4矩阵的Crout分解法79

3.2.5对称正定矩阵的Cholesky分解及 MATLAB程序80

3.2.6解三对角方程组的追赶法及MATLAB程序86

3.3迭代法88

3.3.1迭代法的一般形式88

3.3.2 Jacobi迭代法及MATLAB程序89

3.3.3 Gauss-Seidel迭代法及MATLAB程序92

3.3.4超松弛迭代法及MATLAB程序96

3.3.5共轭梯度法及MATLAB程序99

3.4迭代法的收敛性分析104

3.4.1迭代法的收敛性104

3.4.2迭代法的收敛速度与误差分析105

习题3107

第4章 矩阵特征值与特征向量的数值算法111

4.1预备知识112

4.1.1 Householder变换和Givens变换112

4.1.2 Gershgorin圆盘定理114

4.1.3 QR分解115

4.2乘幂法和反幂法116

4.2.1乘幂法及MATLAB程序117

4.2.2乘幂法的加速122

4.2.3反幂法及MATLAB程序124

4.3 Jacobi方法（对称矩阵）125

4.3.1 Jacobi方法及MATLAB程序125

4.3.2 Jacobi方法的收敛性129

4.4 Householder方法130

4.4.1一般实矩阵约化为Hessenberg矩阵130

4.4.2实对称矩阵的三对角化133

4.4.3求三对角矩阵特征值的二分法133

4.4.4三对角矩阵特征向量的计算135

4.5 QR方法135

4.5.1基本的QR方法136

4.5.2 QR方法的收敛性137

4.5.3带原点位移的QR方法139

4.5.4单步QR方法计算上Hessenberg矩阵特征值140

4.5.5双步QR方法141

4.6基于MATLAB的QR分解141

习题4142

第5章 插值方法144

5.1插值多项式及存在唯一性145

5.1.1插值多项式的一般提法145

5.1.2插值多项式存在唯一性145

5.2 Lagrange插值146

5.2.1 Lagrange插值多项式146

5.2.2线性插值与抛物线插值148

5.2.3 Lagrange插值的MATLAB程序149

5.2.4 Lagrange插值余项与误差估计150

5.3 Aitken和Neville插值153

5.3.1 Aitken逐步线性插值153

5.3.2 Neville逐步线性插值153

5.4差商与Newton插值154

5.4.1差商及其性质154

5.4.2 Newton插值多项式156

5.4.3 Newton插值余项与误差估计157

5.4.4 Newton插值的MATLAB程序158

5.5差分与等距节点的Newton插值159

5.5.1差分及其性质159

5.5.2等距节点Newton插值多项式161

5.5.3等距节点Newton插值的MATLAB程序162

5.6 Hermite插值164

5.7分段低次插值166

5.7.1高次插值的Runge现象及MATLAB程序166

5.7.2分段线性插值及MATLAB程序167

5.7.3分段三次Hermite插值及MATLAB程序170

5.8三次样条插值172

5.8.1三次样条函数173

5.8.2三转角插值函数（方程）及MATLAB程序175

5.8.3三弯矩插值函数（方程）及MATLAB程序179

5.8.4三次样条插值函数的收敛性182

5.9 B-样条插值183

5.9.1m次样条函数183

5.9.2 B-样条函数184

5.9.3 B-样条函数的性质185

习题5186

第6章 函数最佳逼近189

6.1正交多项式189

6.1.1正交函数族189

6.1.2几个常用的正交多项式191

6.2最佳一致逼近197

6.2.1一致逼近的概念197

6.2.2最佳一致逼近多项式201

6.2.3最佳一致逼近多项式的计算206

6.2.4最佳一致逼近三角多项式208

6.3最佳平方逼近211

6.3.1平方度量与平方逼近211

6.3.2最佳平方逼近212

6.4正交多项式的逼近性质214

6.4.1用正交多项式作最佳平方逼近215

6.4.2用正交多项式作最佳一致逼近216

6.5 Fourier级数的逼近性质218

6.5.1最佳平方三角逼近219

6.5.2最佳一致三角逼近219

6.5.3快速Fourier变换223

6.6有理函数逼近227

6.6.1连分式逼近227

6.6.2 Pade逼近228

6.7曲线拟合的最小二乘法及MATLAB程序230

6.7.1曲线拟合的最小二乘法230

6.7.2曲线拟合最小二乘法的MATLAB程序231

习题6232

第7章 数值积分235

7.1机械求积公式235

7.1.1数值积分的基本思想235

7.1.2待定系数法236

7.1.3插值型求积公式237

7.1.4求积公式的收敛性与稳定性239

7.2 Newton-Cotes求积公式240

7.2.1 Newton-Cotes求积公式的一般形式240

7.2.2两种低阶的Newton-Cotes求积公式240

7.2.3误差估计241

7.2.4 Newton-Cotes求积公式MATLAB程序243

7.3复合求积公式244

7.3.1复合梯形求积公式及MATLAB程序244

7.3.2复合Simpson求积公式及MATLAB程序245

7.3.3复合Cotes求积公式及MATLAB程序247

7.4变步长求积公式248

7.4.1变步长梯形求积公式及MATLAB程序248

7.4.2自适应Simpson求积公式及MATLAB程序250

7.5 Romberg求积算法252

7.5.1 Romberg求积公式252

7.5.2 Romberg求积算法的MATLAB程序254

7.6 Gauss求积公式256

7.6.1 Gauss求积公式的构造257

7.6.2 5种Gauss型求积公式259

7.6.3 Gauss求积公式及MATLAB程序264

7.7 MATLAB中的数值积分函数267

7.7.1 MATLAB数值积分函数267

7.7.2应用实例268

习题7269

第8章 数值微分272

8.1中点方法272

8.1.1微分中点数值算法272

8.1.2微分中点数值算法误差分析273

8.2利用插值方法求微分273

8.2.1插值型求导方法273

8.2.2常用插值型求数值微分公式274

8.3利用数值积分求微分276

8.3.1矩形积分方法276

8.3.2 Simpson积分方法276

8.4利用三次样条求微分277

8.5外推法在数值微分中的应用278

习题8279

第9章 常微分方程数值解法280

9.1数值解法的构造途径280

9.1.1数值解法的基本思想280

9.1.2差商逼近法281

9.1.3数值积分法282

9.1.4 Taylor展开法282

9.2 Euler方法及其改进284

9.2.1 Euler方法及MATLAB程序284

9.2.2改进的Euler方法及MATLAB程序285

9.2.3预估-校正方法292

9.2.4公式的截断误差292

9.3 Runge-Kutta方法293

9.3.1 Runge-Kutta方法的基本思想293

9.3.2二阶Runge-Kutta方法294

9.3.3三阶与四阶Runge-Kutta方法及MATLAB程序296

9.3.4变步长的Runge-Kutta方法及MATLAB程序299

9.4单步法的相容性、收敛性与稳定性302

9.4.1相容性302

9.4.2收敛性303

9.4.3稳定性307

9.5线性多步法309

9.5.1线性多步法的一般公式309

9.5.2 Adams公式及MATLAB程序311

9.5.3 Milne方法与Simpson方法及MATLAB程序315

9.5.4 Hamming方法及MATLAB程序317

9.5.5预估校正方法318

9.6微分方程组与高阶微分方程数值解320

9.6.1一阶微分方程组320

9.6.2高阶微分方程及MATLAB程序322

9.6.3刚性方程324

9.7求微分方程数值解的MATLAB函数326

9.7.1 MATLAB中微分方程数值解函数326

9.7.2应用实例326

习题9327

部分习题答案330

参考文献336