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第1章 几何结构1

1 数学结构的意义1

1.1 数学发展的分化与统一1

1.2 现代数学结构的分类2

1.3 结构的作用3

2 现代数学中欧氏几何的结构4

2.1 几何学的向量结构4

2.2 几何学的度量结构8

3 经典数学中欧氏几何的结构10

3.1 欧几里得《几何原本》——古典公理法10

3.2 希尔伯特《几何基础》——近代公理法14

4 教育数学中欧氏几何的结构19

4.1 我国现行中学几何教材的结构分析19

4.2 国际中学几何教材改革的趋向21

4.3 21世纪中学平面几何新体系的探讨24

习题133

第2章 几何证题36

1 命题与证明36

1.1 命题36

1.2 推理与证明40

2 几何证题的推理方法44

2.1 综合法与分析法44

2.2 直接证法与间接证法48

2.3 演绎推理与合情推理55

3 几何证题的思考方法58

3.1 分解拼补法58

3.2 命题转换法63

3.3 特殊化72

3.4 类比75

3.5 面积法77

4 其他数学方法在几何证题中的应用82

4.1 三角法82

4.2 代数法86

4.3 坐标法90

4.4 向量法93

4.5 复数法95

习题2103

第3章 几何变换110

1 变换与变换群110

1.1 映射110

1.2 变换110

1.3 变换群111

2 合同变换113

2.1 合同变换及其性质113

2.2 平移变换115

2.3 旋转变换117

2.4 反射122

2.5 平移、旋转、反射之间的关系124

2.6 自对称图形131

3 相似变换134

3.1 相似变换及其性质134

3.2 位似变换135

4 反演变换142

4.1 反演变换及其性质142

4.2 极点与极线153

习题3154

第4章 几何轨迹157

1 轨迹的有关概念157

1.1 轨迹的意义157

1.2 轨迹基本定理160

1.3 三种类型的轨迹题161

2 用综合法探求点的轨迹165

2.1 描迹法165

2.2 几何变换法170

2.3 条件代换法173

3 用解析法探求点的轨迹178

习题4184

第5章 几何作图186

1 几何作图基本知识186

1.1 作图工具与作图公法186

1.2 作图成法187

1.3 作图题的条件与分类188

1.4 解作图题的步骤188

2 常用的作图方法190

2.1 交轨法190

2.2 三角形奠基法193

2.3 变位法196

2.4 位似法199

2.5 反演法200

2.6 代数法202

3 尺规作图可能性的判断准则206

3.1 尺规作图的充分必要条件206

3.2 三次方程的根能否尺规作图的判定207

3.3 三大尺规作图不能问题208

3.4 尺规作图不能问题的判别方法209

习题5211

第6章 立体几何214

1 点、直线、平面214

2 简单多面体的欧拉公式223

3 面积与体积228

3.1 面积概念228

3.2 体积概念230

3.3 拟柱体与辛普生公式232

4 立体几何证题法238

4.1 分解拼补法238

4.2 命题转换法239

4.3 类比法242

4.4 体积法245

4.5 向量法245

5 四面体的度量公式247

6 多面角的概念与球面多边形的面积253

习题6256

第7章 球面几何261

1 距离、线段、角261

2 球面三角268

3 对偶原则273

4 图形相等与椭圆运动277

习题7279

第8章 双曲几何283

1 距离、线段、角285

2 双曲三角292

3 图形相等与双曲运动299

4 双曲几何模型302

4.1 克莱因模型302

4.2 庞加莱模型305

习题8308

第9章 n维欧氏几何简介312

1 距离、线段、凸集、变换312

2 超平面、凸多胞形316

3 单形的体积319

4 关于单形的射影定理、余弦定理和正弦定理326

5 关于单形的几何不等式331

6 重心坐标340

习题9340

习题答案和提示343