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第1部分 高等数学2

第1章 函数、极限与连续2

考点1.1.1 函数的概论及其性质2

题型1.1.1.1 求分段函数的复合函数2

题型1.1.1.2 求反函数的表示式3

题型1.1.1.3 判别函数的奇偶性4

题型1.1.1.4 判别变上限积分函数F(x) =∫x0f(t)dt的奇偶性4

题型1.1.1.5 判别（证明）函数的周期性5

考点1.1.2 极限的概念与基本性质6

题型1.1.2.1 正确理解极限定义中的“ε-N”,“ε-δ”,“ε-X”语言的含义6

题型1.1.2.2 运用极限的保序性、保号性求解有关问题6

题型1.1.2.3 数列极限的概念及其运算性质7

考点1.1.3 求函数极限8

题型1.1.3.1 求0/0型或∞/∞型未定式极限8

题型1.1.3.2 求∞-∞型未定式极限11

题型1.1.3.3 求幂指函数型（00型、∞0型、1∞型）未定式极限11

题型1.1.3.4 求含根式和（或根式差）的未定式极限14

题型1.1.3.5 求需先考察左、右（单侧）极限的函数极限15

题型1.1.3.6 求含指数函数差因子的函数极限15

考点1.1.4 数列极限16

题型1.1.4.1 数列极限存在性的判定16

题型1.1.4.2 由递推关系式定义的数列极限存在性的证明及其极限的求法17

题型1.1.4.3 求数列极限18

题型1.1.4.4 求某些积和式的极限21

考点1.1.5 无穷小量或无穷大量的比较23

题型1.1.5.1 无穷小量阶的比较23

题型1.1.5.2 无穷大量阶的比较25

考点1.1.6 已知一极限，确定待定常数、待定函数或另一待求极限26

题型1.1.6.1 已知极限式的极限反求其所含的未知参数26

题型1.1.6.2 已知含未知函数的一极限，求含该函数的另一函数极限33

考点1.1.7 讨论函数的连续性及间断点的类型33

题型1.1.7.1 讨论函数的连续性33

题型1.1.7.2 判别函数f(x)的间断点的类型35

题型1.1.7.3 利用连续性确定待定常数39

题型1.1.7.4 利用函数的连续性证明方程实根的存在性39

第2章 一元函数微分学42

考点1.2.1 导数定义的应用42

题型1.2.1.1 讨论函数在某点的可导性42

题型1.2.1.2 讨论分段函数的可导性及其导数的求法43

题型1.2.1.3 利用导数定义求极限或导数44

题型1.2.1.4 利用导数定义讨论函数性质45

考点1.2.2 讨论含绝对值函数的可导性46

题型1.2.2.1 讨论绝对值函数|f(x)|的可导性46

题型1.2.2.2 讨论函数f(x)=|ψ(x)| g(x)的可导性47

考点1.2.3 求一元函数的导数和微分49

题型1.2.3.1 求隐函数的导数49

题型1.2.3.2 求反函数的导数51

题型1.2.3.3 求由参数方程所确定的函数的导数52

题型1.2.3.4 求某些简单函数的高阶导数53

题型1.2.3.5 求一元函数的微分55

考点1.2.4 利用微分中值定理证明中值等式56

题型1.2.4.1 利用罗尔定理证明中值等式56

题型1.2.4.2 拉格朗日中值定理在证明与中值等式有关的问题上的应用58

题型1.2.4.3 柯西中值定理的应用60

题型1.2.4.4 求解高阶导数中值满足的等式61

考点1.2.5 利用导数和极限讨论函数的性态63

题型1.2.5.1 判定函数的单调性63

题型1.2.5.2 函数极值点的判定65

题型1.2.5.3 利用极限式判定函数是否取得极值67

题型1.2.5.4 利用所给（二阶微分）方程讨论函数是否取得极值，其曲线是否有拐点68

题型1.2.5.5 求曲线的凹凸区间与拐点70

题型1.2.5.6 求函数f(x)在区间［a,b］上的最值74

题型1.2.5.7 求曲线的渐近线75

题型1.2.5.8 确定函数方程存在实根78

考点1.2.6 利用导数证明函数不等式80

题型1.2.6.1 证明函数不等式80

题型1.2.6.2 证明数值不等式82

考点1.2.7 导数的几何和物理应用85

题型1.2.7.1 平面曲线方程由显函数y=f(x)给出，求其切线和法线方程85

题型1.2.7.2 曲线方程由隐函数方程F(x,y)=0给出，求其切线和法线方程86

题型1.2.7.3 曲线方程由参数方程｛x=x(t) y=y(t)给出，求其切线与法线87

题型1.2.7.4 曲线方程由极坐标方程r=r(θ)给出，求其切线与法线方程88

题型1.2.7.5 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题89

题型1.2.7.6 求解与两曲线相切有关的问题89

题型1.2.7.7 求解与曲率有关的问题90

题型1.2.7.8 求解与变化率有关的问题91

第3章 一元函数积分学92

考点1.3.1 计算不定积分92

题型1.3.1.1 计算被积函数中含有积分变量的无理根式的不定积分92

题型1.3.1.2 计算被积函数中含有对数函数的不定积分92

题型1.3.1.3 求被积函数含反三角函数的不定积分93

题型1.3.1.4 求被积函数为两类不同函数乘积的不定积分94

考点1.3.2 计算定积分94

题型1.3.2.1 用分部积分法计算定积分94

题型1.3.2.2 计算需用换元法计算的定积分95

题型1.3.2.3 利用定积分的重要特性简化计算定积分96

题型1.3.2.4 计算被积函数含抽象函数导数或被积函数导数已知的积分99

题型1.3.2.5 比较和估计定积分的大小99

考点1.3.3 变限积分102

题型1.3.3.1 求含变限积分的函数导数102

题型1.3.3.2 求分段函数的变限积分103

题型1.3.3.3 求与变限积分有关的极限104

题型1.3.3.4 求变限积分函数的定积分105

题型1.3.3.5 讨论变限积分函数的性质105

考点1.3.4 计算反常积分（广义积分）107

题型1.3.4.1 无穷限反常积分敛散性判别及其计算107

题型1.3.4.2 计算无界函数的反常积分110

题型1.3.4.3 判别混合型反常积分的敛散性112

考点1.3.5 定积分在几何上和物理上的应用114

题型1.3.5.1 计算平面图形的面积114

题型1.3.5.2 已知曲线方程，求其绕坐标轴旋转所得旋转体的侧面积（表面积）117

题型1.3.5.3 已知曲线方程，求其绕坐标轴旋转所得的旋转体体积118

题型1.3.5.5 计算平行截面面积已知的立体体积123

题型1.3.5.6 计算平面曲线的弧长123

题型1.3.5.7 求解定积分的应用与最值问题相结合的综合题125

题型1.3.5.8 求函数在区间上的平均值126

题型1.3.5.9 定积分在物理上的应用127

第4章 多元函数微分学130

考点1.4.1 多元函数微分学中若干基本概念及其联系130

题型1.4.1.1 多元函数微分学中几个基本概念130

题型1.4.1.2 二元函数在某点极限存在、连续、可偏导及可微的关系131

考点1.4.2 计算多元函数的偏导数和全微分132

题型1.4.2.1 求多元显函数的偏导数或全微分132

题型1.4.2.2 求抽象复合函数的偏导数或全微分133

题型1.4.2.3 利用隐函数存在性定理确定隐函数136

题型1.4.2.4 求隐函数的偏导数或全微分137

题型1.4.2.5 求二元函数的二阶混合偏导数或全微分139

题型1.4.2.6 求含变限积分的二元函数的偏导数140

题型1.4.2.7 已知偏导数所满足的方程，求待定函数或参数141

考点1.4.3 多元函数的极值与最值144

题型1.4.3.1 二元函数无条件极值的判别及其求法145

题型1.4.3.2 求二（多）元函数的条件极值147

题型1.4.3.3 求二元函数的最大值和最小值150

第5章 二重积分153

考点1.5.1 计算直角坐标系下的二重积分153

题型1.5.1.1 化二重积分为累次积分153

题型1.5.1.2 交换二次积分的积分次序154

题型1.5.1.3 利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算156

题型1.5.1.4 计算需分区域计算的二重积分158

考点1.5.2 用极坐标系计算二重积分162

题型1.5.2.1 计算圆域或部分圆域上的二重积分162

考点1.5.3 转换坐标系计算二重积分165

题型1.5.3.1 将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分计算165

题型1.5.3.2 将极坐标系下的二重积分转换为直角坐标系下的二次积分计算168

考点1.5.4 二重积分的应用169

题型1.5.4.1 求质心、形心的坐标169

第6章 常微分方程172

考点1.6.1 求解一阶微分方程172

题型1.6.1.1 求解可分离变量的微分方程172

题型1.6.1.2 求解齐次方程173

题型1.6.1.3 求解一阶线性方程173

考点1.6.2 求解高阶常系数线性微分方程177

题型1.6.2.1 利用解的结构和性质求解微分方程177

题型1.6.2.2 求解可降阶的微分方程178

题型1.6.2.3 求解高阶常系数线性齐次微分方程的通解181

题型1.6.2.4 确定二阶常系数非齐次微分方程的特解形式181

题型1.6.2.5 求解二阶常系数非齐次线性方程182

题型1.6.2.6 求解含变限积分的方程183

题型1.6.2.7 求在变量代换下微分方程的变形，并求其解184

考点1.6.3 已知微分方程的通（特）解反求该微分方程185

题型1.6.3.1 已知微分方程的通（特）解，反求该齐次微分方程185

题型1.6.3.2 已知其特解或通解反求该非齐次线性方程186

考点1.6.4 微分方程的应用188

题型1.6.4.1 微分方程在几何上的应用188

题型1.6.4.2 微分方程在物理上的应用188

第2部分 线性代数192

第1章 行列式192

考点2.1.1 计算数字型行列式192

题型2.1.1.1 计算行（列）和相等的行列式192

题型2.1.1.2 计算（或可化为）非零元素在一条或两条线上的行列式192

题型2.1.1.3 计算非零元素在三条线上的行列式194

题型2.1.1.4 计算含零子块的四分块矩阵的行列式的值196

考点2.1.2 计算抽象矩阵的行列式196

题型2.1.2.1 计算抽象乘积矩阵的行列式196

题型2.1.2.2 已知一方阵的列向量组可由另一方阵的列向量组线性表示，又已知其中一矩阵的行列式，求另一矩阵的行列式197

题型2.1.2.3 已知一矩阵方程，求其中一矩阵的行列式的值198

题型2.1.2.4 利用秩、特征值、相似矩阵等计算行列式198

题型2.1.2.5 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式199

题型2.1.2.6 计算抽象矩阵的线性组合的行列式199

题型2.1.2.7 方阵的行列式是否等于零的判定或证明200

考点2.1.3 克拉默法则的应用201

题型2.1.3.1 求方程组AX=b的唯一解或判定方程组AX=0只有零解201

题型2.1.3.2 已知方程组An×nX=0只有零解，或有非零解，确定待求常数201

第2章 矩 阵203

考点2.2.1 矩阵运算203

题型2.2.1.1 利用矩阵乘法的结合律，计算乘积矩阵203

题型2.2.1.2 计算方阵的高次幂205

题型2.2.1.3 证明抽象矩阵可逆，并求其逆矩阵的表示式206

题型2.2.1.4 求元素已知的矩阵的逆矩阵207

考点2.2.2 求解与伴随矩阵有关的问题209

题型2.2.2.1 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式210

题型2.2.2.2 求与伴随矩阵有关的矩阵逆矩阵210

题型2.2.2.3 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩210

题型2.2.2.4 求伴随矩阵的表达式211

考点2.2.3 矩阵的秩212

题型2.2.3.1 求数字型矩阵的秩212

题型2.2.3.2 求抽象矩阵的秩213

题型2.2.3.3 已知矩阵秩的有关信息，求其待定常数或其所满足的关系215

考点2.2.4 求解矩阵方程216

题型2.2.4.1 求解含或可化为含单位矩阵加项的矩阵方程216

题型2.2.4.2 求解含伴随矩阵A＊的矩阵方程218

题型2.2.4.3 求解矩阵方程，该方程两边同含左（或右）乘可逆因子矩阵219

题型2.2.4.4 求解系数矩阵不可逆或不能（不易）化为式（2.2.4.1）中三种类型的矩阵方程219

考点2.2.5 求解与初等变换有关的问题222

题型2.2.5.1 用初等矩阵表示矩阵的初等变换222

题型2.2.5.2 利用初等矩阵及其性质表示变换前或变换后的矩阵及其性质223

题型2.2.5.3 讨论与等价矩阵有关的问题225

第3章 向 量226

考点2.3.1 向量的线性组合与线性表示226

题型2.3.1.1 求解一组向量由另一组向量线性表出的有关问题226

考点2.3.2 向量组的线性相关性230

题型2.3.2.1 判定（证明）向量组的线性相关性230

题型2.3.2.2 已知一向量组线性无关，判别其线性组合的向量组的线性相关性232

题型2.3.2.3 证明向量组线性无关233

考点2.3.3 求向量组的极大线性无关组和向量组的秩236

题型2.3.3.1 求向量组的极大线性无关组236

题型2.3.3.2 求向量组的秩237

第4章 线性方程组240

考点2.4.1 判定线性方程组解的情况240

题型2.4.1.1 判定齐次线性方程组解的情况240

题型2.4.1.2 判定非齐次线性方程组解的情况241

考点2.4.2 基础解系241

题型2.4.2.1 基础解系的判定或证明241

题型2.4.2.2 基础解系和特解的求法242

考点2.4.3 求解线性方程组244

题型2.4.3.1 求解不含参数的线性方程组的通解244

题型2.4.3.2 求解含参数的线性方程组AX=b245

题型2.4.3.3 求解其通解满足一定条件的含参数的线性方程组250

题型2.4.3.4 求解参数仅出现在常数项的线性方程组253

考点2.4.4 抽象线性方程组的求解254

题型2.4.4.1 已知AX=b的特解，求其通解254

题型2.4.4.2 利用线性方程组的向量形式求其通解255

考点2.4.5 由其解反求线性方程组或其参数256

题型2.4.5.1 已知AX=0或AX=b的解的情况，反求其中参数256

题型2.4.5.2 已知方程组的基础解系，求其系数矩阵258

考点2.4.6 求两线性方程组的公共解258

题型2.4.6.1 已知两具体的线性方程组，求其公共解259

题型2.4.6.2 两方程组中至少有一个方程组的通解已知，求其公共解260

考点2.4.7 讨论两方程组同解的有关问题261

题型2.4.7.1 证明两齐次线性方程组同解262

题型2.4.7.2 已知两线性方程组有公共非零解或同解，求其待定常数263

第5章 矩阵的特征值和特征向量265

考点2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量265

题型2.5.1.1 求数字型矩阵的特征值和特征向量265

题型2.5.1.2 求抽象矩阵的特征值、特征向量266

题型2.5.1.3 已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关矩阵的特征值、特征向量268

考点2.5.2 求与已知矩阵的特征值、特征向量有关的问题270

题型2.5.2.1 已知矩阵的特征值、特征向量，反求其矩阵的待定常数或其行列式270

考点2.5.3 相似矩阵与相似对角化271

题型2.5.3.1 判别（证明）两矩阵相似271

题型2.5.3.2 判别方阵是否可相似对角化273

题型2.5.3.3 相似矩阵性质的应用274

考点2.5.4 与两矩阵相似的有关计算275

题型2.5.4.1 已知A可相似对角化，即P-1AP=A，求相似对角矩阵A275

题型2.5.4.2 已知矩阵A可相似对角化，求可逆矩阵P使P-1AP为对角矩阵276

题型2.5.4.3 由特征值、特征向量，反求其矩阵279

题型2.5.4.4 已知矩阵A和可逆矩阵P求A的相似矩阵B，使P-1AP=B280

考点2.5.5 实对称矩阵性质的应用281

题型2.5.5.1 已知实对称矩阵的一部分特征向量，求另一部分特征向量281

题型2.5.5.2 A为实对称矩阵，求正交矩阵Q使Q-1AQ为对角矩阵282

题型2.5.5.3 利用相似对角化求矩阵的高次幂283

第6章 二次型286

考点2.6.1 二次型的标准形286

题型2.6.1.1 用正交变换化二次型（实对称矩阵）为标准形（对角矩阵）286

题型2.6.1.2 已知二次型的标准形（规范形），求二次型中的未知参数291

考点2.6.2 判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性293

题型2.6.2.1 判别二次型或其矩阵的正定性293

题型2.6.2.2 确定参数值使二次型或其矩阵正定295

考点2.6.3 合同矩阵与合同变换296

题型2.6.3.1 判别（证明）两实对称矩阵合同296

题型2.6.3.2 讨论两矩阵相似与合同的关系298

附录 2001—2015年考研数学二试题299

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题299

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题300

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题302

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题304

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题306

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题308

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题310

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题312

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题314

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题316

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题318

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题319

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题321

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题323

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题326