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第1部分 微积分2

第1章 函数、极限、连续2

考点1.1.1 函数的概念与性质2

题型1.1.1.1 求分段函数的复合函数2

题型1.1.1.2 判定数列或函数在区间上的有界性3

考点1.1.2 极限的概念与性质4

题型1.1.2.1 判定极限的存在性4

题型1.1.2.2 讨论极限的性质5

考点1.1.3 求函数极限6

题型1.1.3.1 求0/0型或∞/∞型极限6

题型1.1.3.2 求∞-∞型极限8

题型1.1.3.3 求幂指函数型极限9

题型1.1.3.4 求极限式含幂指函数的极限11

题型1.1.3.5 求极限式含指数函数差的极限11

题型1.1.3.6 求极限式含lnf(x)的函数极限，其中lim x→□f(x)=112

题型1.1.3.7 求含有界变量为因子的函数极限13

题型1.1.3.8 求数列极限13

考点1.1.4 确定未知参（函）数16

题型1.1.4.1 已知极限式的极限，反求其所含的未知参数16

题型1.1.4.2 已知含未知函数的一极限，求含该函数的另一函数极限21

考点1.1.5 无穷小量或无穷大量的比较22

题型1.1.5.1 无穷小量的运算及其阶的比较22

题型1.1.5.2 确定无穷小量的阶数22

题型1.1.5.3 无穷大量阶的比较24

考点1.1.6 讨论函数的连续性及间断点的类型25

题型1.1.6.1 讨论函数的连续性25

题型1.1.6.2 判别函数f(x)间断点的个数及其类型26

题型1.1.6.3 已知分段函数的连续性求其待定常数28

考点1.1.7 连续函数性质的应用29

题型1.1.7.1 介值定理（零点定理）的应用29

第2章 一元函数微分学31

考点1.2.1 导数定义的应用31

题型1.2.1.1 讨论函数在某点的可导性31

题型1.2.1.2 讨论分段函数的可导性及导函数的连续性33

题型1.2.1.3 利用导数定义求极限或导数34

考点1.2.2 求一元函数的导数和微分36

题型1.2.2.1 求各类一元函数的各阶导数36

题型1.2.2.2 微分的概念与计算37

考点1.2.3 利用导数讨论函数性态39

题型1.2.3.1 确定单调区间与极值39

题型1.2.3.2 已知一极限式，讨论函数是否取得极值42

题型1.2.3.3 求函数曲线的凹凸区间与拐点43

题型1.2.3.4 求函数曲线的渐近线45

题型1.2.3.5 确定函数方程存在实根及其个数问题47

考点1.2.4 微分中值定理的应用49

题型1.2.4.1 利用微分中值定理的条件与结论解题49

题型1.2.4.2 使用罗尔定理证明中值等式50

题型1.2.4.3 证明中值等式f′(ξ)±g′(ξ)F(ξ)=053

题型1.2.4.4 证明与函数差值有关的中值命题55

题型1.2.4.5 证明存在多个中值所满足的中值等式56

题型1.2.4.6 证明函数与其导数的关系58

题型1.2.4.7 利用导数证明不等式59

考点1.2.5 一元函数微分学的几何应用62

题型1.2.5.1 求曲线的切线和（或）法线方程62

题型1.2.5.2 求解与两曲线相切的有关问题62

题型1.2.5.3 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题62

考点1.2.6 导数在经济活动分析中的应用63

题型1.2.6.1 计算与弹性有关的问题64

题型1.2.6.2 计算与边际和弹性有关的应用题65

题型1.2.6.3 求解经济函数的最值问题67

第3章 一元函数积分学71

考点1.3.1 原函数与不定积分的关系71

题型1.3.1.1 原函数与不定积分的概念及其性质71

题型1.3.1.2 连续函数f(x)与其原函数F(x)即f(x)与f′(x)的性质之间的关系71

考点1.3.2 计算不定积分72

题型1.3.2.1 计算分母含根号因子的无理函数的不定积分（定积分）72

题型1.3.2.2 求简单无理函数的不定积分73

题型1.3.2.3 求被积函数含反三角函数、对数函数为因子函数的不定积分74

考点1.3.3 计算定积分75

题型1.3.3.1 利用定积分的几何意义计算定积分75

题型1.3.3.2 计算对称区间［-a,a］上的定积分76

题型1.3.3.3 计算被积函数含导函数的积分78

题型1.3.3.4 计算∫bfa[ψ(x)]dx79

题型1.3.3.5 求解函数方程，该方程含积分区间（区域）确定的未知函数的定（二重）积分79

题型1.3.3.6 比较定积分值的大小80

题型1.3.3.7 计算周期函数的定积分82

题型1.3.3.8 已知积分值，反求待定常数84

考点1.3.4 求解与变限积分有关的问题84

题型1.3.4.1 求变限积分的导数84

题型1.3.4.2 求含变限积分的未定式极限85

题型1.3.4.3 讨论变限积分函数的性态85

考点1.3.5 有关定积分的证明88

题型1.3.5.1 证明定积分的等式88

题型1.3.5.2 证明定积分的不等式89

考点1.3.6 计算反常积分（广义积分）92

题型1.3.6.1 计算无穷区间上的反常积分92

题型1.3.6.2 计算无界函数的反常积分93

考点1.3.7 一元函数积分学的应用94

题型1.3.7.1 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积94

题型1.3.7.2 求旋转体体积95

题型1.3.7.3 求解与最值问题相结合的几何应用题96

题型1.3.7.4 由边际函数求总函数97

第4章 多元函数微积分学99

考点1.4.1 二元（多元）函数微分学中的基本概念99

题型1.4.1.1 二元函数极限、连续、可偏导及可微的基本概念99

题型1.4.1.2 二元函数的极限、连续、可偏导及可微的关系100

考点1.4.2 计算复合函数的偏导数101

题型1.4.2.1 计算二元（多元）函数的偏导数（的值）102

题型1.4.2.2 求带抽象函数记号的复合函数的偏导数102

考点1.4.3 求二元函数的全微分105

题型1.4.3.1 求二元显函数的全微分106

题型1.4.3.2 求多元隐函数的偏导数及其全微分108

考点1.4.4 多元函数微分学的应用110

题型1.4.4.1 求二元函数的极值（无条件极值）和最值110

题型1.4.4.2 求解二（多）元函数的条件极值和条件最大值、最小值问题112

考点1.4.5 计算二重积分115

题型1.4.5.1 根据积分区域或被积函数适当选择积分次序计算二重积分116

题型1.4.5.2 交换二次积分的积分次序117

题型1.4.5.3 转换二次积分（转换坐标系）118

题型1.4.5.4 利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算119

题型1.4.5.5 分块计算二重积分123

题型1.4.5.6 计算简单无界区域上的二重积分128

题型1.4.5.7 讨论二重积分的大小129

考点1.4.6 计算圆域上的二重积分130

题型1.4.6.1 计算圆域x2＋y2≤a2(a＞0)上的二重积分130

题型1.4.6.2 计算圆域x2＋y2≤2ax(a＞0)上的二重积分131

题型1.4.6.3 计算圆域x2＋y2≤2by(b＞0)上的二重积分132

题型1.4.6.4 计算圆域x2＋y2≤-2by(b＞0)上的二重积分133

题型1.4.6.5 计算圆域x2＋y2≤2ax＋2by＋c上的二重积分133

第5章 无穷级数135

考点1.5.1 判别（证明）常数项级数的敛散性135

题型1.5.1.1 判别正项级数的敛散性135

题型1.5.1.2 判别交错级数的敛散性136

题型1.5.1.3 判别任意项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛137

题型1.5.1.4 已知数项级数的敛散性，确定其参数的取值范围139

考点1.5.2 幂级数140

题型1.5.2.1 求幂级数的收敛半径或（和）收敛域140

题型1.5.2.2 求幂级数的和函数142

题型1.5.2.3 求数项级数的和147

考点1.5.3 将函数展为幂级数149

题型1.5.3.1 求函数在指定点的幂级数展开式150

题型1.5.3.2 幂级数展开式的简单应用151

第6章 常微分方程与差分方程154

考点1.6.1 求解一阶线性微分方程154

题型1.6.1.1 求解变量可分离的微分方程154

题型1.6.1.2 求解齐次微分方程154

题型1.6.1.3 求解一阶线性非齐次微分方程y′＋p(x)y=q(x)155

题型1.6.1.4 求解以分段函数为非齐次项或系数的一阶线性微分方程156

题型1.6.1.5 求解可化为一阶微分方程的方程157

考点1.6.2 求解未知函数出现在积分号内的方程158

题型1.6.2.1 求解含变限积分的方程158

题型1.6.2.2 求解含积分区域变化的二重积分的函数方程160

考点1.6.3 求解二阶（高阶）常系数线性微分方程161

题型1.6.3.1 确定二阶常系数非齐次线性微分方程特解形式161

题型1.6.3.2 求解二阶常系数线性微分方程162

考点1.6.4 微分方程的简单应用163

题型1.6.4.1 求解与平面图形面积有关的问题163

题型1.6.4.2 求解与旋转体体积有关的问题164

考点1.6.5 一阶常系数线性差分方程165

题型1.6.5.1 求解一阶常系数线性非齐次差分方程165

题型1.6.5.2 一阶常系数线性非次差分方程的简单应用166

第2部分 线性代数168

第1章 行 列 式168

考点2.1.1 计算数字型行列式168

题型2.1.1.1 计算行和（或列和）相等的行列式168

题型2.1.1.2 计算非零元素（主要）在一条或两条线上的行列式169

题型2.1.1.3 计算非零元素在平行于主对角线的三条线上的行列式171

考点2.1.2 计算抽象矩阵的行列式173

题型2.1.2.1 求解同阶矩阵A,B的线性组合的行列式|aA＋bB|（a,b为常数）173

题型2.1.2.2 计算含零子块的四分块矩阵的行列式174

题型2.1.2.3 利用方阵相乘的行列式性质计算行列式174

题型2.1.2.4 利用秩、特征值、相似矩阵等计算行列式176

考点2.1.3 克拉默法则的应用176

题型2.1.3.1 求方程组AX=b的唯一解或判定方程组AX=0只有零解176

题型2.1.3.2 已知方程组A…X=0只有零解或有非零解，确定待求常数177

第2章 矩 阵178

考点2.2.1 矩阵运算178

题型2.2.1.1 利用矩阵乘法的结合律计算乘积矩阵178

题型2.2.1.2 计算矩阵的高次幂179

题型2.2.1.3 证明抽象矩阵可逆，并求其逆矩阵的表示式179

题型2.2.1.4 求元素已知的矩阵的逆矩阵180

考点2.2.2 求解与伴随矩阵有关的问题182

题型2.2.2.1 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式182

题型2.2.2.2 求（A＊）-1或（A-1）＊183

题型2.2.2.3 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩183

题型2.2.2.4 求伴随矩阵的表达式184

考点2.2.3 求矩阵的秩186

题型2.2.3.1 求数字型矩阵的秩186

题型2.2.3.2 求抽象矩阵的秩186

题型2.2.3.3 已知矩阵的秩，求其待定常数或其待定常数所满足的关系188

考点2.2.4 求解矩阵方程189

题型2.2.4.1 求解系数矩阵可逆的矩阵方程189

题型2.2.4.2 求解系数矩阵不可逆的矩阵方程191

考点2.2.5 求解与初等变换有关的问题193

题型2.2.5.1 用初等矩阵表示初等变换193

题型2.2.5.2 利用初等矩阵及其性质表示变换前或变换后的矩阵或其运算后的矩阵194

题型2.2.5.3 讨论等价矩阵的有关问题197

第3章 向 量199

考点2.3.1 向量的线性组合与线性表示199

题型2.3.1.1 讨论一向量能否用一向量组线性表示199

题型2.3.1.2 若向量β与向量组α1，α2，…，αs为抽象型的向量组（向量的具体元素未知），讨论β能否由该向量组线性表示200

题型2.3.1.3 判别两向量组是否等价201

考点2.3.2 向量组的线性相关性204

题型2.3.2.1 判别（证明）向量组的线性相关性204

题型2.3.2.2 已知一向量组线性无关，判定其线性组合的向量组的线性相关性205

题型2.3.2.3 证明向量组线性无关207

题型2.3.2.4 两个有线性关系的向量组的性质210

题型2.3.2.5 已知向量组的线性相关性，求其待定常数211

题型2.3.2.6 求向量组的极大线性无关组和向量组的秩213

第4章 线性方程组215

考点2.4.1 线性方程组解的判定215

题型2.4.1.1 判定齐次和非齐次线性方程组解的情况215

题型2.4.1.2 已知线性方程组解的情况，求其参数216

考点2.4.2 基础解系218

题型2.4.2.1 基础解系的判定或证明218

题型2.4.2.2 基础解系和特解的求法219

考点2.4.3 求解线性方程组222

题型2.4.3.1 求解不含参数的线性方程组的通解222

题型2.4.3.2 求解含参数的齐次线性方程组223

题型2.4.3.3 求解含参数的非齐次线性方程组226

题型2.4.3.4 求解其通解满足一定条件的含参数的方程组229

考点2.4.4 求（抽象）线性方程组的通解230

题型2.4.4.1 A没有具体给出，利用解的结构定理求AX=0的通解230

题型2.4.4.2 利用线性方程组的向量形式求其通解232

考点2.4.5 求两线性方程组的公共解233

题型2.4.5.1 已知具体的线性方程组求其公共解233

题型2.4.5.2 已知一个方程组的通解及另一具体方程组，求其（非零）公共解235

考点2.4.6 讨论两方程组同解的有关问题236

题型2.4.6.1 证明两齐次线性方程组同解236

题型2.4.6.2 已知两线性方程组有公共非零解或同解，求其待定常数238

第5章 矩阵的特征值和特征向量241

考点2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量241

题型2.5.1.1 求数字型矩阵的特征值和特征向量241

题型2.5.1.2 求抽象矩阵的特征值、特征向量243

题型2.5.1.3 已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关矩阵的特征值、特征向量243

考点2.5.2 使用特征值、特征向量求解有关问题244

题型2.5.2.1 已知矩阵的特征值、特征向量，反求其矩阵的待定常数244

题型2.5.2.2 已知矩阵的特征值、特征向量反求其矩阵245

题型2.5.2.3 矩阵特征值的两条性质的应用248

考点2.5.3 相似矩阵与相似对角化248

题型2.5.3.1 判别或证明两矩阵相似248

题型2.5.3.2 判别方阵是否可相似对角化249

题型2.5.3.3 利用相似矩阵的性质求矩阵中的参数252

考点2.5.4 将矩阵化为相似对角矩阵254

题型2.5.4.1 已知矩阵A可相似对角化，求可逆矩阵P使P-1AP为对角矩阵254

题型2.5.4.2 已知A可相似对角化，求对角矩阵A使P-1AP=∧255

考点2.5.5 实对称矩阵性质的应用256

题型2.5.5.1 已知实对称矩阵的部分特征向量，求另一部分特征向量256

题型2.5.5.2 A为实对称矩阵，求正交矩阵Q使Q-1AQ为对角矩阵257

题型2.5.5.3 利用相似对角化求矩阵的高次幂258

第6章 二 次 型261

考点2.6.1 二次型的几个基本概念261

题型2.6.1.1 求二次型的矩阵表示261

题型2.6.1.2 求二次型的秩262

考点2.6.2 求解与化标准形有关的问题263

题型2.6.2.1 用正交变换化二次型（实对称矩阵）为标准形（对角矩阵）263

题型2.6.2.2 已知二次型的标准形（规范形），反求原二次型中的未知参数267

考点2.6.3 判别实二次型（实对称矩阵）的正定性268

题型2.6.3.1 判别二次型或其矩阵的正定性268

题型2.6.3.2 确定参数值使二次型或其矩阵正定270

考点2.6.4 合同矩阵与合同变换272

题型2.6.4.1 判别（证明）两实对称矩阵合同272

第3部分 概率论与数理统计278

第1章 随机事件与概率278

考点3.1.1 随机事件的关系及其运算法则278

题型3.1.1.1 随机事件的关系278

题型3.1.1.2 随机事件的运算及其性质279

考点3.1.2 计算事件的概率279

题型3.1.2.1 计算古典型概率279

题型3.1.2.2 计算几何型概率280

题型3.1.2.3 计算伯努利概型的概率282

考点3.1.3 计算概率的几个常用公式的应用284

题型3.1.3.1 计算概率的加法公式、乘法公式、条件概率公式与减法公式的应用284

题型3.1.3.2 全概率公式和贝叶斯公式的应用285

考点3.1.4 事件独立性的判别与应用287

题型3.1.4.1 判别（证明）两事件相互独立287

题型3.1.4.2 判别（证明）n（n＞2）个事件相互独立288

题型3.1.4.3 事件相互独立性质的应用289

第2章 一维随机变量及其分布291

考点3.2.1 判别分布列、概率密度、分布函数291

题型3.2.1.1 分布函数的判别291

题型3.2.1.2 概率密度函数的判定292

考点3.2.2 求分布律和分布函数292

题型3.2.2.1 求离散型随机变量的分布律（概率分布）292

题型3.2.2.2 求随机变量的分布函数294

题型3.2.2.3 讨论分布函数的性质297

考点3.2.3 利用分布计算事件的概率298

题型3.2.3.1 利用分布函数计算事件的概率298

题型3.2.3.2 利用常见分布计算概率298

考点3.2.4 求与随机变量分布有关的参数301

题型3.2.4.1 已知随机变量的分布求其参数301

题型3.2.4.2 已知概率，计算区间参数或数字特征参数302

考点3.2.5 求随机变量函数的分布304

题型3.2.5.1 求连续型随机变量X的函数g（X）的分布304

题型3.2.5.2 已知X,Y的分布，求max(X,Y)与min(X,Y)的分布306

第3章 二维随机变量及其分布309

考点3.3.1 求二维离散随机变量的联合概率分布309

题型3.3.1.1 给定随机试验，求离散型随机变量的联合分布309

题型3.3.1.2 由随机事件或一对随机变量的分布，求出另一对随机变量的联合概率分布311

题型3.3.1.3 在一定条件下，由X,Y的分布律求（X,Y）的联合分布律315

考点3.3.2 求二维连续型随机变量的分布318

题型3.3.2.1 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数318

题型3.3.2.2 由联合概率密度求其边缘概率密度319

题型3.3.2.3 已知联合密度、边缘密度求其条件密度320

题型3.3.2.4 由条件分布反求联合分布、边缘分布322

考点3.3.3 二维随机变量函数的分布323

题型3.3.3.1 求二维离散型随机变量函数的概率分布323

题型3.3.3.2 求二维连续型随机变量函数的分布324

题型3.3.3.3 求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型，另一个是离散型330

考点3.3.4 求二维随机变量取值的概率333

题型3.3.4.1 求二维离散型随机变量取值的概率333

题型3.3.4.2 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率334

考点3.3.5 随机变量的独立性337

题型3.3.5.1 判别两随机变量的独立性337

题型3.3.5.2 利用两随机变量的独立性确定联合分布中的参数339

第4章 随机变量的数字特征340

考点3.4.1 一维随机变量的数字特征340

题型3.4.1.1 求一维随机变量的数学期望与方差340

题型3.4.1.2 求一维随机变量函数的期望与方差341

考点3.4.2 求二维随机变量的数字特征343

题型3.4.2.1 求二维随机变量函数的数学期望和方差343

题型3.4.2.2 计算协方差及相关系数345

题型3.4.2.3 确定两随机变量的相关性351

考点3.4.3 求解与数字特征有关的应用题351

题型3.4.3.1 求解与数字特征有关的经济应用题351

题型3.4.3.2 求解与数字特征有关的其他实际应用题352

第5章 大数定律和中心极限定理355

考点3.5.1 切比雪夫不等式355

题型3.5.1.1 用切比雪夫不等式估计事件的概率355

考点3.5.2 大数定律355

题型3.5.2.1 利用三个大数定律成立的条件和结论解题355

考点3.5.3 中心极限定理356

题型3.5.3.1 应用列维－林德伯格中心极限定理的条件和结论解题357

题型3.5.3.2 列维－林德伯格中心极限定理的应用358

题型3.5.3.3 棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理的应用360

第6章 数理统计的基本概念361

考点3.6.1 求统计量的分布361

题型3.6.1.1 判别或证明统计量服从X2分布361

题型3.6.1.2 判别或证明统计量服从t分布362

题型3.6.1.3 判别或证明统计量服从F分布365

考点3.6.2 统计量的数字特征366

题型3.6.2.1 求统计量的数字特征366

题型3.6.2.2 由统计量的数字特征求其特定常数371

第7章 参数估计372

考点3.7.1 参数的矩估计和极大似然估计372

题型3.7.1.1 求参数的矩估计372

题型3.7.1.2 求未知参数的极（最）大似然估计量（值）374

附录 2001—2015年考研数学三试题379

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题379

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题380

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题382

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题384

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题386

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题388

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题389

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题391

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题393

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题395

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题396

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题398

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题400

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题404

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题407