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目录1

第1章　复变函数1

1.1　复数1

1.1.1　复数及其运算1

1.1.2　复数球面4

1.2　复变函数4

1.2.1 复变函数4

1.2.2　极限与连续6

1.2.3　常见的几个复变函数6

1.2.4　三角函数7

1.2.5　双曲线函数8

1.2.6　对数函数8

1.2.7　任意复数为指数的幂函数的定义8

1.3　解析函数9

1.4.1　复变函数的积分13

1.4　积分13

1.4.2　柯西定理15

1.5　泰勒级数和洛朗级数20

1.5.1　泰勒级数20

1.5.2　洛朗级数22

1.6　留数25

1.6.1 孤立奇点25

1.6.2 留数26

1.7　利用留数定理计算积分29

1.7.1 ？R(cosθ,sinθ）dθ型的定积分29

1.7.2 ？ Q(x)sin αxdx及？Q(x)cos αxdx型的积分30

习题34

第2章　数学物理方程39

2.1　数学物理方程研究对象与方法论39

2.1.1　具有普遍意义的一些物理现象（或物理过程）39

2.1.2　数学物理方程的基本任务和方法41

2.2.1 波动方程（Wave equations）42

2.2　三类典型的偏微分方程42

2.2.2 扩散方程（Diffusion equations）44

2.2.3　稳态方程（Steady equations）46

2.3　定解条件与定解问题的提法47

2.3.1 定解条件47

2.3.2　定解条件的形式和定解问题47

2.4　定解问题的适定性49

2.5　二阶线性偏微分方程及其分类51

2.5.1　二阶偏微分方程的一般形式51

2.5.2　特征方程与特征线51

2.5.3　二阶线性偏微分方程的分类52

2.6　分离变量法53

2.6.1 分离变量法基本概念与叠加原理53

2.6.2　有界弦自由振动的解及其物理意义54

2.6.3　有界杆热传导方程的解——点源函数57

2.6.4　试探解法（固有函数法）60

2.6.5　边界条件的齐次化65

2.7　行波法（波动方程的达朗贝尔法）67

2.7.1 行波法的基本思想和初值问题提法67

2.7.2　一维波动方程初值问题的解69

2.7.3　一维非齐次波动方程初值问题的解71

2.7.4　三维波动方程解的泊松公式（球面波）73

2.7.5　二维波动方程解的泊松公式（柱面波）76

2.8　求解稳态问题的格林函数法77

2.8.1 稳态方程的定解问题与拉普拉斯方程的基本解77

2.8.2　格林公式与调和函数的性质78

2.8.3　格林函数82

2.9　积分变换法84

2.9.1　傅里叶变换及其性质84

2.9.2　傅里叶变换法的应用87

2.9.3　拉普拉斯变换简介91

习题92

参考文献97