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目录1

第一篇 微积分研究的主要对象与工具——函数、极限与连续1

基本内容一览表1

一、基本概念2

1．映射与函数2

2．数列极限3

3．函数极限5

4．函数连续性9

二、基本计算10

1．极限计算10

题型一 利用极限表达函数并讨论其性质19

三、综合题与证明题举例19

2．函数间断点求法及类型的判别19

题型二 利用无穷小比较求极限或确定极限式中的参数20

题型三 利用连续函数的性质证明命题22

四、应用23

综合测试题一24

第二篇 一元函数微分学26

基本内容一览表26

一、基本概念27

1．导数与微分27

2．中值定理28

3．极值、极值点与驻点关系30

1．导数与微分计算31

二、基本计算31

2．单调区间、极值，凹凸区间和拐点，最大最小值的求法34

3．利用洛必达法则求极限36

4．曲率计算39

三、综合题、证明题举例40

1．中值等式、不等式证明40

2．函数性态研究43

3．方程根的讨论43

四、应用45

1．变化率与相关变化率45

2．最大值最小值应用题举例47

3．经济上的应用48

综合测试题二49

第三篇 一元函数积分学51

基本内容一览表51

一、基本概念52

1．不定积分52

2．定积分53

3．微积分基本定理55

4．广义积分56

二、基本计算57

1．求不定积分57

2．定积分计算64

3．用定义计算广义积分或判定其敛散性67

1．变上限积分求导数以及与此有关的极限问题68

三、综合题与证明题举例68

2．求变上限积分有关的极值或最值69

3．利用换元法或分部积分法证明积分等式69

4．证明包含积分的不等式71

四、应用73

1．元素法73

2．元素法在几何中的应用74

3．元素法在物理中的应用77

综合测试题三79

基本内容一览表81

第四篇 常微分方程81

一、基本概念82

1．微分方程与解82

2．微分方程的类型82

3．线性微分方程解的结构82

二、基本计算83

1．解一阶微分方程的基本方法83

2．高阶微分方程85

三、综合题与证明题举例86

1．一题含多类方程的题型86

3．凑微分题型87

4．变量代换题型87

2．一题多解题型87

5．积分方程题型88

四、应用88

1．微分方程的几何应用88

2．微分方程的物理应用89

综合测试题四90

第五篇 多元函数微分学92

第一部分 向量代数与空间解析几何92

基本内容一览表92

一、基本概念92

1．向量的概念及运算92

2．空间曲面与空间曲线的方程94

3．平面与直线96

二、基本计算98

1．向量代数的基本运算98

2．各种条件下平面方程的求法99

3．各种条件下直线方程的求法100

三、综合题与证明题举例101

1．平面、直线综合题举例101

2．空间立体及其在坐标面上的投影102

综合测试题五（一）103

第二部分 多元函数微分学及其应用106

基本内容一览表106

一、基本概念106

1．函数、极限与连续106

2．偏导数与全微分108

3．方向导数与梯度110

4．极值111

二、基本计算112

1．简单显函数的微分法112

2．复合函数微分法113

3．隐函数微分法115

4．极值的计算117

三、综合题与证明题举例118

1．多元复合函数、隐函数求偏导综合题型118

2．全微分与微分方程、变限积分综合题型120

1．微分法在几何上的应用121

四、应用121

2．求最大值最小值的应用题123

综合测试题五（二）125

第六篇 多元函数的积分学127

第一部分 多元实值函数积分127

基本内容一览表127

一、基本概念127

1．二重积分127

2．三重积分129

3．第一类曲线积分130

二、基本计算131

1．二重积分的计算131

4．第一类曲面积分131

2．三重积分计算134

3．第一类曲线积分的计算137

4．第一类曲面积分的计算138

三、综合与证明题举例139

1．多元实值函数的各类积分计算139

2．二重积分的证明142

四、应用142

1．几何应用142

2．物理应用144

综合测试题六（一）145

一、基本概念148

1．第二类曲线积分148

基本内容一览表148

第二部分 多元向量值函数的积分148

2．第二类曲面积分151

二、基本计算153

1．第二类曲线积分的计算153

2．原函数求法和全微分方程解法156

3．第二类曲面积分的计算158

三、综合题与证明题举例162

1．利用曲线积分计算二重积分和平面图形的面积162

2．曲线积分与常微分方程综合题型163

3．曲面积分与多元函数微分学综合题型163

5．曲线积分与最大最小值综合题型164

4．曲面积分与旋转曲面、旋转体的综合题型164

四、应用165

第二类曲线积分和曲面积分的应用165

综合测试题六（二）167

第七篇 无穷级数169

基本内容一览表169

一、基本概念170

1．常数项级数170

2．正项级数170

3．交错级数171

4．任意项级数172

5．函数项级数与幂级数174

6．傅里叶级数176

二、基本计算177

1．级数收敛性判别方法177

2．幂级数收敛半径、收敛域、和函数的求法180

3．函数的幂级数展开182

4．傅里叶级数展开式184

三、综合证明186

1．级数收敛性综合题186

2．级数收敛半径、收敛域、和函数举例187

四、应用188

1．函数值的近似计算188

综合测试题七189

2．级数在积分计算中的应用189

第八篇 习题选解191

选解一 微积分研究的主要对象与工具191

选解二 一元函数的微分学194

选解三 一元函数的积分学197

选解四 常微分方程200

选解五 多元函数的微分学202

选解六 多元函数的积分学205

选解七 无穷级数209

选解八 教材Ⅱ题目选解214

微积分A第一学期期中考试模拟试卷216

附录一216

微积分A第一学期期末考试模拟试卷218

微积分A第一学期期末考试全真试卷220

微积分B第一学期期中考试模拟试卷222

微积分B第一学期期末考试模拟试卷224

微积分B第一学期期末考试全真试卷226

附录二228

微积分A第二学期期中考试模拟试卷228

微积分A第二学期期末考试模拟试卷230

微积分A第二学期期末考试全真试卷232

微积分B第二学期期中考试模拟试卷234

微积分B第二学期期末考试模拟试卷236

微积分B第二学期期末考试全真试卷238