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第1章 复数与复变函数1

1.1复数1

1.1.1复数域1

1.1.2复平面、复数的模与辐角2

1.1.3复数的乘幂与方根5

1.1.4共轭复数6

1.1.5无穷远点与扩充复平面8

1.2复平面点集9

1.2.1平面点集9

1.2.2区域9

1.2.3 Jordan曲线10

1.2.4单连通区域与多连通区域10

1.3复变函数的极限与连续11

1.3.1复变函数的概念11

1.3.2复变函数的极限13

1.3.3复变函数的连续性15

习题116

第2章 解析函数18

2.1解析函数的概念18

2.1.1复变函数的导数与微分18

2.1.2解析函数20

2.2 C.-R.条件21

2.3初等函数24

2.3.1指数函数24

2.3.2对数函数26

2.3.3幂函数27

2.3.4三角函数与双曲函数29

2.3.5反三角函数与反双曲函数31

习题232

第3章 复变函数的积分34

3.1复变函数的积分34

3.1.1复变函数积分的定义34

3.1.2积分的存在性与计算35

3.1.3复积分的基本性质36

3.2 Cauchy积分定理38

3.2.1单连通区域上的Cauchy积分定理38

3.2.2多连通区域上的Cauchy积分定理40

3.3 Cauchy积分公式及其应用42

3.3.1 Cauchy积分公式42

3.3.2解析函数的无穷可微性43

3.3.3 Cauchy不等式与Liouville定理45

3.3.4 Morera定理45

3.4解析函数与调和函数的关系46

习题348

第4章 解析函数的级数展开及其应用51

4.1复级数的概念及基本性质51

4.1.1复数数列51

4.1.2复数项级数52

4.1.3复变函数项级数53

4.2幂级数54

4.2.1幂级数收敛圆及收敛半径54

4.2.2幂级数的性质56

4.2.3 Taylor级数57

4.2.4解析函数的唯一性定理60

4.3双边幂级数表示及其应用62

4.3.1双边幂级数62

4.3.2 Laurent级数62

4.3.3孤立奇点及其分类66

4.3.4解析函数在无穷远点的性态69

习题470

第5章 留数及其应用74

5.1留数74

5.1.1留数的概念74

5.1.2留数定理75

5.1.3留数的计算75

5.1.4无穷远点的留数77

5.2应用留数计算实积分79

5.2.1∫2π0R（cosθ，sinθ）dθ型积分79

5.2.2∫﹢∞﹣∞P（x）Q（x）dx型积分81

5.2.3∫﹢∞﹣∞P（x）Q（x）eimxdx型积分82

5.2.4积分路径上有奇点的积分83

5.3辐角原理及其应用84

5.3.1对数留数84

5.3.2辐角原理85

习题587

第6章 共形映射90

6.1共形映射的概念90

6.1.1导数的几何意义90

6.1.2共形映射的概念92

6.2分式线性映射94

6.2.1分式线性映射的概念94

6.2.2分式线性映射的性质96

6.2.3分式线性映射的应用98

6.3某些初等函数所构成的共形映射102

6.3.1幂函数与根式函数102

6.3.2指数函数与对数函数104

6.3.3儒可夫斯基函数107

习题6109

第7章Fourier变换111

7.1 Fourier积分111

7.2 Fourier变换113

7.2.1 Fourier变换的概念113

7.2.2 δ函数及其Fourier变换115

7.2.3 Fourier变换的物理意义——频谱120

7.3 Fourier变换的性质121

习题7127

第8章Laplace变换132

8.1 Laplace变换的概念132

8.2 Laplace变换的性质136

8.3 Laplace变换的逆变换141

8.4 Laplace变换的应用142

习题8145

附录Ⅰ傅氏变换简表150

附录Ⅱ拉氏变换简表158

习题答案164

参考文献182