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第1章 计算水力学和基本控制方程1

1.1 引言1

1.2 本书的基本内容3

1.3 物理守恒定律的数学表达式4

1.3.1 连续方程、动量方程和能量方程4

1.3.2 均值方程与脉动量方程13

1.3.3 水动力学计算中的基本方程16

1.3.4 涡的传输方程22

1.3.5 标量的传输方程24

1.3.6 方程的分类25

参考文献28

第一篇 有限差分法31

第2章 有限差分的基本形式31

2.1 基本概念31

2.1.1 连续函数与数值离散逼近31

2.1.2 差分的概念32

2.2 Taylor级数法33

2.3 多项式插值35

2.4 积分法36

2.5 控制体法38

2.6 显式和隐式差分格式41

2.6.1 显式差方格式41

2.6.2 隐式差分格式41

2.7 差分方程的守恒性42

2.8 差分方程的相容性、收敛性和稳定性45

2.8.1 相容性45

2.8.2 收敛性47

2.8.3 稳定性47

2.9 特征线法64

2.9.1 特征方程、特征线和Riemann不变量64

2.9.2 特征线法67

2.10 显式差分格式70

2.10.1 Lax格式和耗散界面（Dissipative Interface）70

2.10.2 逆风格式（Upwind Scheme）72

2.10.3 蛙跳格式（Leap-frog Scheme）73

2.10.4 Dufort-Frankel格式76

2.10.5 Lax-Wendroff二阶精度格式77

2.10.6 MaCormack格式79

2.10.7 Adams-Bashforth格式80

2.10.8 Rusanov格式81

2.10.9 CaMapcкий格式82

2.10.10 TVD格式83

2.11 隐式差分格式87

2.11.1 一般描述87

2.11.2 隐式格式的变权形式90

2.11.3 矩阵稳定分析法91

2.11.4 隐式格式的解法94

2.11.5 关于隐式格式的若干说明95

2.12 变系数与非线性方程的有限差分离散96

2.12.1 非线性微分方程的显式格式96

2.12.2 非线性微分方程的隐式格式99

2.12.3 线性迭代（Picard）与二次迭代（Newton）的比较103

2.13 二维和三维方程的有限差分离散103

2.13.1 概述103

2.13.2 分步法的概念104

2.13.3 空间概念上的分步法104

2.13.4 物理概念上的分步法113

2.13.5 空间概念上和物理概念上联合分步的格式115

2.14 初始条件与边界条件116

2.15 误差分析120

2.15.1 舍入误差和截断误差120

2.15.2 误差的物理概念122

2.16 适定性的物理意义与Lax等价定理128

第3章 有限差分法在水力学问题中的应用130

3.1 明渠非恒定流的有限差分解130

3.1.1 一维明渠非恒定流方程（Saint-Venant Equations）130

3.1.2 明渠非恒定流微分方程的差分形式131

3.1.3 Lax-Wendroff格式，Abbott格式和Preissmann格式的误差分析154

3.1.4 河网非恒定流的有限差分解162

3.1.5 平面二维明渠非恒定流的有限差分解169

3.1.6 计算实例196

3.2 扩散问题的有限差分解199

3.2.1 一维扩散方程的数值解199

3.2.2 二维对流－扩散方程的数值解203

3.2.3 计算实例206

3.3 明渠重力异重流的有限差分解209

3.3.1 异重流的控制方程209

3.3.2 异重流内界面的定义211

3.3.3 异重流控制方程的简化形式212

3.3.4 算例215

3.4 浅水区波浪问题的有限差分解217

3.4.1 微分方程217

3.4.2 Boussinesq方程的数值解220

3.4.3 计算实例222

3.5 河床演变的有限差分解223

3.5.1 河床演变的数学模型Ⅰ（考虑总输沙过程或底沙输送为主的情况）223

3.5.2 数值模型Ⅰ的数值解229

3.5.3 河床演变的数值模型Ⅱ（以悬移质为主的情况）231

3.5.4 计算实例234

3.6 Navier-Stokes方程的有限差分解236

3.6.1 概述236

3.6.2 速度－压强求解法242

3.6.3 计算实例247

3.7 势流的有限差分解248

3.7.1 概述248

3.7.2 迭代求解法249

3.7.3 边界条件253

3.7.4 收敛准则254

3.7.5 迭代法的收敛性和收敛速度254

3.7.6 计算实例259

参考文献262

第二篇 有限单元法267

第4章 有限单元法的预备知识267

4.1 线性空间及线性算子267

4.1.1 线性空间（Linear Space）267

4.1.2 线性算子268

4.1.3 最佳逼近269

4.2 伽辽金法的基本概念274

4.2.1 基本概念274

4.2.2 例子274

第5章 有限单元法277

5.1 有限单元法的基本概念277

5.2 伽辽金有限单元法离散280

5.2.1 单元矩阵280

5.2.2 整体矩阵289

5.3 施加边界条件292

第6章 内插函数294

6.1 概述294

6.2 三角形单元295

6.2.1 斜坐标和面坐标295

6.2.2 线性内插函数298

6.2.3 二次内插函数301

6.3 矩形单元303

6.3.1 局部坐标系303

6.3.2 线性插值函数304

6.3.3 二次内插函数304

6.3.4 等参单元306

第7章 在水力学问题中的应用311

7.1 渗流问题中的应用311

7.1.1 恒定渗流311

7.1.2 非恒定渗流312

7.2 明渠非恒定流计算318

7.2.1 控制方程318

7.2.2 控制方程的离散318

参考文献326

第三篇 有限体积法331

第8章 有限体积法331

8.1 基本概念332

8.1.1 相关名词332

8.1.2 控制体积的选择333

8.1.3 结构与非结构网格334

8.2 有限体积法离散336

8.2.1 离散思路及基本格式336

8.2.2 物理特性要求340

8.2.3 迎风型通量格式343

8.2.4 TVD格式347

8.3 非结构网格上的有限体积法351

8.3.1 基本方程351

8.3.2 离散基本思路353

8.3.3 数值通量的近似354

第9章 在水力学问题中的应用358

9.1 二维明渠非恒定流计算358

9.1.1 基本方程358

9.1.2 控制方程的离散359

9.1.3 计算实例370

9.2 浅水方程的LU-SGS隐式算法377

9.2.1 网格重新编号377

9.2.2 LU-SGS隐式推进381

9.2.3 长江口潮流模拟383

9.3 三维浅水流动计算385

9.3.1 基本方程385

9.3.2 数值方法386

9.3.3 模型验证388

9.4 三维紊动分层流计算391

9.4.1 紊动分层流基本方程392

9.4.2 紊流模型及控制方程离散393

9.4.3 压力校正法393

9.4.4 边界条件396

9.4.5 盐度引起的负浮力流动的模拟397

参考文献400

第四篇 边界的特殊处理405

第10章 开边界405

10.1 概述405

10.2 辐射型开边界模型405

10.2.1 辐射型开边界模型（Sommerfeld Condition）405

10.2.2 曲线边界条件下含变系数波动方程的开边界409

10.2.3 一阶对流方程411

10.2.4 线性浅水方程的开边界416

10.2.5 开边界条件的有限差分离散419

10.3 特征方程型开边界模型420

10.3.1 特征方程法420

10.3.2 在明渠非恒定流动的应用424

10.3.3 N-S方程中的应用431

第11章 动边界444

11.1 概述444

11.2 欧拉（Euler）模型445

11.2.1 MAC法（Maker-In-Cell Method）445

11.2.2 流体体积法［Volume of Fluid（VOF）Method］452

11.2.3 网格变换法458

11.3 拉格朗日模型（Lagrangian Model）469

11.3.1 标准的拉格朗日法469

11.3.2 拉格朗日－欧拉（Lagrangian-Eulerian）模型478

11.3.3 自由拉格朗日（Lagrange）模型490

第12章 网格变换501

12.1 概述501

12.2 广义曲线坐标502

12.2.1 广义坐标502

12.2.2 变换的度量张量和物理特性504

12.2.3 正交和保角坐标的限制505

12.2.4 广义坐标引入的附加误差507

12.2.5 广义坐标系中的控制方程509

12.3 区域映射的类型512

12.3.1 单连通域（Simply Connected Regions）512

12.3.2 多连通域（Multiply-Connected Regions）514

12.4 坐标变换的微分方程法516

12.4.1 求解椭圆微分方程516

12.4.2 广义坐标应用的例子519

参考文献521

第五篇 可视化方法与应用525

第13章 基本信息元的可视化方法525

13.1 标量场的可视化方法525

13.1.1 等值线的绘制方法525

13.1.2 曲面的绘制方法530

13.2 矢量场的可视化方法531

13.2.1 流场的可视化方法531

13.2.2 流线的绘制534

第14章 可视化发展趋势536

14.1 地理信息系统的结合536

14.2 虚拟现实的应用537

14.3 OpenGL的应用542

14.4 网络化趋势547

参考文献547

附录1 浅水方程有限单元离散方程中的单元矩阵549

附录2 非恒定渗流有限单元模型的单元矩阵556

附录3 一维非恒定流计算程序557

附录4 二维对流－扩散方程程序562

附录5 拓广的拉普拉斯方程的有限单元程序566

附录6 例子程序：Lawson算法577

附录7 等值线的绘制程序584