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第8章 空间解析几何与向量代数1

8.1 空间直角坐标系与空间点的坐标1

习题8.14

8.2 向量及其运算4

8.2.1 向量的基本概念4

8.2.2 向量的加减运算5

8.2.3 向量与数的乘积7

8.2.4 向量的数量积9

8.2.5 向量的向量积10

习题8.212

8.3 向量的坐标13

8.3.1 向量的坐标表示13

8.3.2 向量的模与方向余弦14

8.3.3 向量运算的坐标表示15

习题8.319

8.4 空间平面与直线的方程20

8.4.1 平面方程20

8.4.2 空间直线的方程25

习题8.432

8.5 空间的曲面与曲线33

8.5.1 几个典型曲面的例子34

8.5.2 二次曲面简介38

8.5.3 空间曲线40

习题8.544

第9章 多元函数微分学46

9.1 多元函数的极限与连续46

9.1.1 多元函数的概念46

9.1.2 平面点集的一些概念49

9.1.3 多元函数的极限50

9.1.4 多元函数的连续性54

习题9.156

9.2 偏导数57

9.2.1 偏导数的定义与计算57

9.2.2 高阶偏导数60

习题9.263

9.3 全微分64

9.3.1 全微分的定义与计算64

9.3.2 全微分在近似计算中的应用68

习题9.370

9.4 多元复合函数微分法70

9.4.1 多元复合函数的链式法则70

9.4.2 全微分形式不变性76

习题9.477

9.5 隐函数微分法78

9.5.1 一个方程的情形78

9.5.2 方程组的情形81

习题9.586

9.6 微分法在几何上的应用87

9.6.1 空间曲线的切线与法平面87

9.6.2 曲面的切平面与法线89

习题9.692

9.7 方向导数与梯度93

9.7.1 方向导数93

9.7.2 梯度97

习题9.7100

9.8 多元函数的极值101

9.8.1 极值存在的必要条件与充分条件101

9.8.2 最大值与最小值问题103

9.8.3 条件极值105

习题9.8109

9.9 二元函数的泰勒公式110

9.9.1 二元函数的泰勒公式110

9.9.2 二元函数极值充分条件的证明114

习题9.9115

9.10 最小二乘法116

习题9.10119

第10章 重积分120

10.1 二重积分的定义及性质120

10.1.1 曲顶柱体体积的计算120

10.1.2 平面薄片质量的问题121

10.1.3 二重积分的定义122

10.1.4 二重积分的简单性质123

习题10.1125

10.2 二重积分的计算125

习题10.2132

10.3 二重积分的换元法133

10.3.1 一般换元公式133

10.3.2 二重积分在极坐标系下的计算135

习题10.3143

10.4 二重积分的应用145

10.4.1 二重积分的微元法145

10.4.2 曲面的面积145

10.4.3 平面薄片的重心147

10.4.4 平面薄片的转动惯量149

10.4.5 平面薄片对质点的引力150

习题10.4151

10.5 三重积分的概念与计算152

10.5.1 三重积分的定义152

10.5.2 利用直角坐标计算三重积分152

习题10.5158

10.6 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分159

10.6.1 三重积分的换元法159

10.6.2 利用柱面坐标计算三重积分161

10.6.3 利用球面坐标计算三重积分163

习题10.6166

第11章 曲线积分与曲面积分168

11.1 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）168

11.1.1 曲线形物体的质量168

11.1.2 对弧长的曲线积分的定义169

11.1.3 对弧长的曲线积分的性质170

11.1.4 对弧长的曲线积分的计算170

11.1.5 对弧长的曲线积分的几何应用与物理应用173

习题11.1174

11.2 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）174

11.2.1 变力沿曲线所做的功174

11.2.2 对坐标的曲线积分的定义175

11.2.3 对坐标的曲线积分的性质177

11.2.4 对坐标的曲线积分的计算177

11.2.5 两类曲线积分之间的关系181

习题11.2182

11.3 格林公式183

11.3.1 平面区域的分类与平面区域边界的定向183

11.3.2 格林公式184

11.3.3 格林公式的应用186

11.3.4 曲线积分与路径无关问题188

11.3.5 曲线积分与路径无关的条件189

11.3.6 二元函数的全微分求积191

习题11.3194

11.4 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）195

11.4.1 曲面形物体的质量195

11.4.2 对面积的曲面积分的定义196

11.4.3 对面积的曲面积分的计算196

习题11.4200

11.5 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）201

11.5.1 流量问题201

11.5.2 有向曲面及其在坐标面上的投影202

11.5.3 对坐标的曲面积分的定义203

11.5.4 对坐标的曲面积分的计算204

11.5.5 两类曲面积分之间的关系208

习题11.5211

11.6 高斯公式 通量与散度212

11.6.1 高斯公式212

11.6.2 高斯公式的应用213

11.6.3 高斯公式的物理意义 通量与散度216

习题11.6218

11.7 斯托克斯公式 环流量与旋度219

11.7.1 斯托克斯公式219

11.7.2 斯托克斯公式的简单应用221

11.7.3 环流量与旋度222

习题11.7224

第12章 常微分方程226

12.1 基本概念226

12.1.1 实例226

12.1.2 基本概念228

习题12.1231

12.2 变量可分离方程与齐次方程231

12.2.1 变量可分离方程232

12.2.2 齐次方程234

习题12.2238

12.3 一阶线性微分方程239

12.3.1 一阶线性微分方程与常数变易法239

12.3.2 伯努利方程243

习题12.3244

12.4 全微分方程245

12.4.1 全微分方程245

12.4.2 一阶微分方程综合例题249

习题12.4250

12.5 可降阶的高阶微分方程251

习题12.5255

12.6 高阶线性微分方程255

习题12.6262

12.7 常系数齐次线性微分方程262

习题12.7266

12.8 常系数非齐次线性微分方程266

习题12.8271

12.9 变系数线性方程272

12.9.1 常数变易法272

12.9.2 欧拉方程275

习题12.9276

12.10 微分方程的幂级数解法276

习题12.10279

12.11 常系数线性微分方程组279

习题12.11281

12.12 常微分方程应用举例282

习题12.12293

12.13 常微分方程初值问题的数值解法294

习题12.13297

习题参考答案与提示298