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第一章 导论1

1.1问题提出的背景1

1.1.1数学无限的认识发展一瞥2

1.1.2对数学无限的认识窘状6

1.2研究的问题6

1.2.1研究的线索一：学生对无限的诸层次的认识状况和影响因素6

1.2.2研究的线索二：学生对相关数学无限概念的理解7

1.3本研究的意义7

1.4本书的结构8

第二章 文献述评和研究思想框架的形成10

2.1关于无限的界定10

2.1.1关于哲学上的无限的界定10

2.1.2关于数学哲学上的无限界定11

2.1.3本书所研究的数学无限的界定11

2.2无限思辩的两个观点12

2.2.1哲学意义上的潜无限和实无限12

2.2.2数学上的潜、实无限观的认识发展一瞥14

2.2.3数学上的三大流派对无限的不同观点16

2.2.4小结18

2.3对无限认识的研究综述18

2.3.1对个体实无限的认识研究18

2.3.2关于无限的隐喻（metaphor）研究20

2.3.3关于无限认识的分类研究21

2.4研究思想架构的形成22

2.4.1学习的认知弹性理论22

2.4.2数学概念学习的APOS理论24

2.4.3无限认识层次划分的依据26

2.4.4层次划分30

2.4.5无限认识量表使用说明33

第三章 研究的设计与方法34

3.1总体和样本34

3.1.1学校34

3.1.2学生和教师35

3.2研究工具36

3.2.1问卷调查表36

3.2.2访谈37

3.2.3工具的试验38

3.3研究的具体问题38

3.3.1线索一的具体研究问题38

3.3.2线索二的具体研究问题38

3.4数据收集，处理与分析39

3.4.1数据收集与评分39

3.4.2数据的处理与分析39

3.5研究的优点和局限性40

第四章 研究结果（一）：朴素认识41

4.1朴素认识是学生认识无限的开端41

4.2朴素认识的标准尺度43

4.3研究结果一：初三学生对无限的朴素认识45

4.3.1初三学生对无限的朴素认识的普遍状况45

4.3.2初三学生朴素认识的心理模式特点45

4.4研究结果二：初三学生和高三学生的朴素认识没有显著性差异49

4.5小结50

4.5.1生活经验在一定程度上阻碍学生对数学无穷大的认识50

4.5.2高三学生和初三学生的朴素认识没有显著性差异51

4.5.3教学启示和建议51

第五章 研究结果（二）：直觉认知53

5.1初级直觉认知和高级直觉认知的内涵54

5.2直觉认知的标准尺度55

5.3研究结果一：初三学生的初级直觉认知57

5.3.1初三学生的初级直觉认知的大体得分状况分析57

5.3.2初三学生容易出现无限直觉的经验化心理趋向58

5.3.3初三学生直觉认知水平与数学成绩的相关性61

5.4研究结果二：高三学生的高级直觉认知63

5.4.1高三学生高级直觉认知现状分析63

5.4.2实证研究63

5.5研究结果三：学生直觉认知的年龄阶段性65

5.5.1小学生的无限直觉认识65

5.5.2初中生与高中生初步直觉认识比较66

5.5.3高三学生和大二学生高级直觉认识比较68

5.6研究结果四：学生对涉及无限的数学概念的直觉认知70

5.6.1初三学生对平行线的理解70

5.6.2高三学生对单调性的实无限认知77

5.6.3小结86

5.7教师的无限直觉认知的一点调查87

5.8小结89

5.8.1“无穷大”的抽象化认识是具备初步直觉认识的重要标志89

5.8.2“整体认知”是影响高级直觉认知的重要因素90

5.8.3教学启示和建议90

第六章 研究结果（三）：无限思辩方式92

6.1无限思辩方式的内在矛盾性92

6.1.1无限思辩方式内在矛盾性内涵92

6.1.2无限思辩方式的三维结构93

6.2思辩方式的标准尺度94

6.3高三学生的无限思辩特点分析98

6.3.1现状分析98

6.3.2高三学生的无限思辩特点99

6.3.3个案对比研究分析103

6.3.4思辩方式得分和学生的数学成绩的相关性105

6.4高三学生无限思辩能力的稳定性106

6.4.1高三和初三学生思辩能力比较106

6.4.2高三学生与大二学生思辩能力比较107

6.5小结109

6.5.1高三学生的无限思辩方式特点109

6.5.2高三学生无限思辩能力具有稳定性109

6.5.3教学启示和建议109

6.5.4初三、高三学生无限认识水平的简要概括111

第七章 研究结果（四）：演绎层次112

7.1演绎层次的内涵112

7.1.1极限和无限的关系113

7.1.2极限的思想内涵113

7.1.3语言的本质115

7.2演绎层次的标准尺度116

7.2.1无穷小分析（极限）的标准尺度116

7.2.2严密系统层次的标准尺度116

7.3研究结果一：大二学生对演绎层次的理解116

7.3.1大二学生对演绎层次的总体得分状况116

7.3.2大二学生对极限的思想内涵的理解117

7.3.3大二学生对语言的理解120

7.3.4大一学生对定义中包含的“有分界”的无限的理解130

7.4研究结果二：大二学生对涉及极限的数学概念的定义的理解134

7.4.1微积分总体无限逼近思想的几何直观——以直代曲134

7.4.2大二学生对连续、可导、可积的极限思想的理解136

7.5对高校数学教授定义的理解的一点调查139

7.6替代定义的某些尝试141

7.6.1张景中院士的“不等式法”的思想142

7.6.2张景中院士的“不等式法”的意义142

7.7小结143

7.7.1“动态分析”是演绎层次的重要标志143

7.7.2理解极限的定义中的“有分界”的无限是关键143

7.7.3阻碍学生理解定义的主要因素143

7.7.4大二学生对连续、导数、定积分中的“无限逼近”思想认识不足144

7.7.5教学启示和建议144

第八章 研究结果（五）：超限数理论初步认识145

8.1超限数理论的内涵145

8.1.1 Cantor发明超限数理论一瞥146

8.1.2 Cantor的超限数理论是实无限理论147

8.2超限数理论初步思想的标准尺度148

8.3研究结果一：大二学生对无限集合“一一对应”的理解150

8.3.1学生对“不同长度线段的点数相同”的理解150

8.3.2实证研究154

8.4研究结果二：大二学生对超限数运算的理解159

8.4.1超限数运算的涵义159

8.4.2实证研究160

8.5研究结果三：“芝诺悖论”解释—极限和超限数理论的共同应用162

8.5.1关于“芝诺悖论”的解释162

8.5.2学生对“芝诺悖论”的认识状况调查165

8.6小结167

8.6.1大二学生对“一一对应”理解倾向167

8.6.2大二学生对超限数的认识倾向167

8.6.3教学启示和建议167

第九章 结论、建议和反思168

9.1从初三到高三学生无限认识的总体发展趋势168

9.2学生对无限本质的认识169

9.2.1“无穷大”的抽象化认识是具备初步直觉认识的重要标志169

9.2.2“整体认知”是影响高级直觉认知的重要因素169

9.2.3“动态分析”是演绎层次的重要标志170

9.2.4理解极限的ε-8定义中的“有分界”的无限是关键170

9.3学生对数学极限概念的认识170

9.3.1大二学生对连续、导数、定积分中的“无限逼近”思想认识不足170

9.3.2阻碍学生理解ε-δ定义的主要因素171

9.4学生无限认识的心理倾向171

9.4.1生活经验在一定程度上阻碍学生对数学无穷大的认识171

9.4.2高三学生的无限思辩的心理倾向性172

9.4.3大二学生对“一一对应”和超限数的认识倾向172

9.5教学建议173

9.5.1在教学中注重学生无限观的培养173

9.5.2注重提高中学教师的数学无限素养176

9.5.3对教材体系安排的一点建议176

9.5.4建议在数学课标中体现无限观培养的具体要求177

9.5.5对教学评价的建议180

9.6本研究的不足和进一步研究的方向180

9.6.1本研究的不足180

9.6.2进一步研究的方向181

参考文献182

附录一 初三学生无限认识量表191

附录二 大一新生（高三学生）无限认识量表197

附录三 大二学生无限认识量表203

附录四 实数与实数集合中无限的魅力210

后记213