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第7章 微分方程与差分方程简介1

7.1 微分方程的基本概念2

7.1.1 微分方程的定义2

7.1.2 微分方程的解3

7.2 一阶微分方程5

7.2.1 可分离变量的微分方程5

7.2.2 齐次微分方程8

7.2.3 一阶线性微分方程14

7.2.4 伯努利微分方程19

7.3 可降阶的高阶微分方程22

7.3.1 y（n）=f（x）型的微分方程22

7.3.2 y″=f（x,y′）型的微分方程23

7.3.3 y″=（y,y′）型的微分方程24

7.4 高阶线性微分方程26

7.4.1 二阶线性微分方程举例26

7.4.2 线性微分方程的解的结构27

7.4.3 二阶常系数齐次线性微分方程29

7.4.4 n阶常系数齐次线性微分方程32

7.4.5 二阶常系数非齐次线性微分方程33

7.4.6 n阶常系数非齐次线性微分方程42

7.4.7 欧拉方程43

7.5 差分方程简介46

7.5.1 差分的概念与性质46

7.5.2 差分方程47

7.5.3 一阶常系数的线性差分方程48

7.5.4 二阶常系数线性差分方程52

7.5.5 n阶常系数线性差分方程56

7.6 微分方程与差分方程的应用举例59

7.6.1 微分方程的应用举例59

7.6.2 差分方程应用举例63

本章小结65

第8章 空间解析几何68

8.1 向量及空间直角坐标系69

8.1.1 向量的概念69

8.1.2 向量的线性运算69

8.1.3 空间直角坐标系72

8.1.4 利用坐标作向量的线性运算73

8.1.5 向量的模、投影73

8.2 低阶行列式 数量积 向量积 混合积75

8.2.1 低阶行列式75

8.2.2 两向量的数量积76

8.2.3 两向量的向量积78

8.2.4 向量的混合积80

8.3 空间中平面与直线的方程81

8.3.1 平面方程81

8.3.2 空间直线方程86

8.3.3 直线与平面的夹角89

8.3.4 平面束的方程90

8.4 二次曲面92

8.4.1 二次曲面93

8.4.2 旋转曲面97

8.4.3 曲面的参数方程98

8.4.4 空间曲线在坐标面上的投影99

本章小结101

第9章 多元函数微分法及其应用103

9.1 多元函数的基本概念104

9.1.1 平面点集与区域104

9.1.2 多元函数概念105

9.2 多元函数的极限与连续107

9.2.1 多元函数的极限107

9.2.2 多元函数的连续性109

9.3 偏导数与全微分112

9.3.1 偏导数的定义及其计算法112

9.3.2 高阶偏导数115

9.3.3 全微分的定义116

9.3.4 全微分在近似计算中的应用120

9.4 多元复合函数的求导法则122

9.4.1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形122

9.4.2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形124

9.4.3 复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形124

9.5 隐函数存在定理128

9.5.1 一个方程的情形128

9.5.2 方程组的情形130

9.6 多元函数微分学的几何应用134

9.6.1 空间曲线的切线与法平面134

9.6.2 曲面的切平面与法线137

9.7 方向导数与梯度139

9.7.1 方向导数139

9.7.2 梯度141

9.8 多元函数的极值及其求法143

9.8.1 多元函数的极值143

9.8.2 多元函数的最大值与最小值146

9.8.3 条件极值与拉格朗日乘子法148

本章小结152

第10章 重积分156

10.1 二重积分的概念与性质156

10.1.1 二重积分的概念156

10.1.2 二重积分的性质159

10.2 二重积分的计算法162

10.2.1 直角坐标系下二重积分的计算162

10.2.2 极坐标系下二重积分的计算170

10.2.3 二重积分的换元法174

10.3 三重积分177

10.3.1 三重积分的概念177

10.3.2 三重积分的计算179

10.4 重积分的应用186

10.4.1 曲面的面积187

10.4.2 密度、质量与电荷量189

10.4.3 力矩与质心190

10.4.4 转动惯量193

10.4.5 引力195

本章小结197

第11章 曲线积分与曲面积分202

11.1 第一类曲线积分202

11.1.1 第一类曲线积分的概念与性质202

11.1.2 第一类曲线积分的计算204

11.2 第二类曲线积分208

11.2.1 第二类曲线积分的概念与性质209

11.2.2 第二类曲线积分的计算210

11.2.3 两类曲线积分之间的联系214

11.3 格林公式216

11.3.1 格林公式216

11.3.2 平面上第二类曲线积分与路径无关的条件220

11.4 第一类曲面积分225

11.4.1 第一类曲面积分的概念与性质225

11.4.2 第一类曲面积分的计算226

11.5 第二类曲面积分229

11.5.1 第二类曲面积分的概念与性质229

11.5.2 第二类曲面积分的计算法232

11.5.3 两类曲面积分之间的联系237

11.6 高斯公式 斯托克斯公式239

11.6.1 高斯公式239

11.6.2 斯托克斯公式242

本章小结247

第12章 无穷级数250

12.1 常数项级数的概念和性质251

12.1.1 常数项级数的概念251

12.1.2 收敛级数的基本性质254

12.2 正项级数及其判别法256

12.2.1 积分判别法256

12.2.2 比较判别法259

12.3 任意项级数的判别法262

12.3.1 交错级数及其判别法262

12.3.2 绝对收敛与条件收敛263

12.3.3 比值判别法264

12.3.4 根值判别法265

12.4 幂级数267

12.4.1 函数项级数的概念267

12.4.2 幂级数及其收敛性268

12.4.3 幂级数的性质272

12.5 函数展开成幂级数274

12.5.1 函数表示成幂级数274

12.5.2 泰勒级数275

12.5.3 函数展开成幂级数277

12.5.4 欧拉公式281

12.6 傅里叶级数282

12.6.1 三角函数系及其正交性282

12.6.2 函数展开成傅里叶级数284

12.6.3 正弦级数和余弦级数287

12.7 一般周期函数的傅里叶级数290

本章小结294

参考答案297

参考文献318