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第一章 高等数学的基础方法1

1 函数定义域的求法与函数符号的运算法1

1．定义域的求法1

2．函数符号的运算与函数关系的确定3

2　函数极限的求法4

1．利用初等变形求极限5

2．利用变量代换求极限8

3．利用两个重要极限求极限9

4．利用两个收敛准则求极限12

5．利用无穷小的性质和泰勒公式求极限15

6．利用罗必塔法则求极限16

7．利用定积分定义和性质求极限18

8．利用旋笃兹定理求极限21

3 函数连续性的判定与应用22

1．函数连续性的判定22

2．闭区间上连续函数的性质的运用25

4 向量代数方法28

1．向量的代数运算28

2．空间平面与直线的方程29

3．球面、柱面及锥面的方程32

第一章　习题34

第二章　微分学方法37

1 一元函数微分法37

1．用定义求导数37

2．用求导法则求导数40

3．高阶导数的求法42

2　多元函数微分法45

1．用定义求偏导数45

2．复合函数求导法46

3．隐函数求导法49

4．方向导数的求法54

3 微分中值定理与微分中值公式的证明56

1．证明方程根的存在性57

2．证明函数具有某些特性的点的存在性59

3．证明某些关于极限的命题63

4．证明某些不等式65

4 函数性态的研究与函数图形的描绘68

1．利用一阶导数确定函数的单调增减性与极值68

2．利用二阶导数确定曲线的凹凸与拐点69

3．函数图形的描绘71

5 导数与偏导数的几何应用72

1．平面曲线的切线、法线与曲率72

2．空间曲线的切线与法平面75

3．曲面的切平面与法线77

6 函数的最值及其应用80

1．一元函数的最值80

2．多元函数的极值与最值84

7 用微分学方法证明不等式89

1．应用微分中值定理证明不等式89

2．应用函数单调性证明不等式92

3．应用函数极值证明不等式94

4．应用凹凸性证明不等式95

第二章　习题98

第三章　积分学方法102

1 不定积分法102

1．有理函数的不定积分102

2．无理函数的不定积分105

3．三角函数有理式的不定积分107

4．两类函数乘积的不定积分109

5．分段函数与可化分段函数的不定积分109

6．不定积分的递推公式110

2　定积分法112

1．定积分的计算法112

2．变上限定积分的有关问题117

3．与积分有关的等式的证明120

4．与积分有关的不等式的证明125

5．广义积分计算法125

3 二重积分法132

1．二重积分的计算法及有关问题132

2．二重积分的换元法139

3．二重广义积分的计算140

4．与二重积分有关的等式与不等式的证明141

4　三重积分法145

1．化三重积分为三次积分145

2．“先一后二”法147

3．“先二后一”法148

4．三次积分的计算与证明149

5 含参变量的积分151

1．积分限固定的情形152

2．积分限变动的情形153

6 曲线积分法159

1．对弧长的曲线积分的计算法159

2．对坐标的曲线积分的直接计算法161

3．对坐标的曲线积分的间接计算法163

4．与曲线积分有关的证明题举例168

7 曲面积分法170

1．对面积的曲面积分的计算法170

2．对坐标的曲面积分的计算法172

3．高斯公式及其应用175

4．有关曲面积分的证明题举例177

8 积分学方法的应用180

1．求平面图形的面积180

2．求立体体积183

3．求曲线的弧长186

4．求曲面面积188

5．求物体的质量、重心及转动惯量191

6．求变力所作的功195

7．求引力、通量、环流量等198

9 微积分综合题举例202

1．计算型综合题202

2．论证型综合题205

3．应用型综合题208

第三章习题212

第四章 无穷级数方法219

1 数项级数敛散性的判别方法219

1．直接判别法219

2．正项级数的比较判别法及其极限形式222

3．正项级数的比值判别法、拉阿伯判别法及根值判别法225

4．正项级数的积分判别法228

5．交错级数的莱布尼兹判别法229

6．利用绝对收敛性判别任意项级数的敛散性230

7．数项级数判敛综合题232

2 幂级数的解题方法235

1．幂级数收敛域的求法235

2．求幂级数的和函数的方法237

3．函数展成幂级数的方法243

3 函数的付立叶级数展开法246

1．周期函数的付立叶展开247

2．定义在有限区间上的函数的付立叶展开250

3．利用付立叶级数求数项级数的和252

4．复数形式的付立叶级数255

4　一致收敛性的判敛方法257

第四章习题259

第五章　微分方程的解法262

1 一阶微分方程的解法262

1．可化为可分离变量的微分方程的解法263

2．可化为齐次的微分方程的解法264

3．可化为线性的微分方程的解法266

4．全微分方程的解法269

5．隐式微分方程的解法273

2 可降阶的高阶微分方程的解法276

1 ．不显含未知函数y的方程的解法276

2．不显含自变量x的方程的解法278

3．不显含x、y的方程的解法279

3 常系数线性微分方程的解法279

1．待定系数法279

2．微分算子法282

3．降阶法284

4．常数变易法285

4 变系数线性微分方程的解法286

1．欧拉方程及其他某些方程的解法286

2．二阶线性微分方程的解法288

5 常系数线性微分方程组的解法290

1．消元法291

2．特征值法292

6 微分方程应用问题的解法294

1．解微分方程应用问题的步骤与方法294

2．几何应用问题举例294

3．力学应用问题举例297

4．其他应用问题举例300

7 与微分方程有关的综合题举例302

1．微分学与微分方程综合题303

2．积分学与微分方程综合题305

3．无穷级数与微分方程综合题308

第五章习题311