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第一章　矩阵及其运算1

1.1 矩阵的概念1

1.1.1　矩阵的概念1

1.1.2　矩阵与线性映射3

1.1.3　实例4

1.2 矩阵的运算6

1.2.1　矩阵的加法6

1.2.2　数与矩阵的乘法6

1.2.3　矩阵的乘法7

1.2.4　矩阵的转置12

1.3 逆方阵14

1.3.1　逆方阵的概念14

1.3.2　逆方阵的性质15

1.4　分块矩阵16

1.4.1　分块矩阵的加法与数乘17

1.4.2　分块矩阵的乘法17

1.4.3　分块矩阵的转置20

1.4.4　分块对角阵20

1.5 矩阵的初等变换22

1.5.1　矩阵的初等变换22

1.5.2　初等矩阵23

1.5.3　用初等行变换求逆矩阵26

1.5.4　分块矩阵的逆矩阵27

小结29

习题一30

2.1.1　行列式与行列式的值35

2.1.2　行列式值的递推定义35

2.1 行列式及其性质35

第二章　行列式及矩阵的秩35

2.1.3　行列式的性质40

2.1.4　行列式的计算46

2.2 克拉默法则与拉普拉斯定理53

2.2.1　克拉默法则53

2.2.2　拉普拉斯定理55

2.2.3　行列式的乘法定理57

2.3 n阶行列式值的另一种定义58

2.4 矩阵的秩60

2.4.1　基本概念60

2.4.2　利用行列式求满秩矩阵的逆矩阵60

2.4.3　用初等变换求矩阵的秩63

习题二69

小结69

第三章　n维向量组77

3.1 n维向量及其线性运算77

3.1.1　n维向量的概念77

3.1.2　n维向量的线性运算78

3.2 向量组的线性相关性79

3.3 向量组的秩84

3.3.1 向量组之间的线性关系84

3.3.2　向量组的秩86

3.3.3　矩阵的行秩与列秩87

3.4 实n维向量空间90

3.4.1　实n维向量空间90

3.4.2　子空间90

3.4.3　基和维数92

3.4.4　坐标93

3.4.5　基变换95

3.4.6　坐标变换97

3.5 向量的内积 正交向量组99

3.5.1 向量的内积99

3.5.2　正交向量组100

小结104

习题三105

第四章　线性方程组　矩阵的特征值问题109

4.1 齐次线性方程组109

4.2 非齐次线性方程组115

4.3　矩阵的特征值与特征向量119

4.3.1　特征值与特征向量的概念119

4.3.2　一个实际的例子122

4.3.3　相似矩阵124

小结127

习题四129

第五章　二次型135

5.1 二次型及其矩阵表示135

5.1.1　二次型及其标准形135

5.1.2　二次型的矩阵表示136

5.2 用满秩线性变换化二次型为标准形138

5.2.1　初等变换法138

5.2.2　配方法141

5.2.3　惯性定律142

5.3 用正交变换化二次型为标准形145

5.3.1　正交变换与正交矩阵145

5.3.2　化二次型为标准形的正交变换的存在性149

5.3.3　用正交变换化二次型为标准形的计算152

5.4 正定二次型155

习题五159

小结159

第六章　线性空间163

6.1 线性空间及其性质163

6.1.1　线性空间的概念163

6.1.2　线性空间的性质164

6.2 基、维数与坐标165

6.2.1　有限维线性空间的基与向量的坐标165

6.2.2　基变换与坐标变换168

6.3 子空间170

6.4 线性空间的同构172

6.5 线性变换173

6.5.1　线性变换的概念与性质173

6.5.2　线性变换的矩阵174

6.5.3　线性变换的运算177

习题六178

小结178

第七章　应用实例选讲182

7.1 层次分析法182

7.2 动态系统研究实例186

7.2.1　兔子数量问题186

7.2.2　带有年龄结构的人口模型188

7.2.3　Natchez印第安人的社会结构模型189

7.2.4　市场营销调查预测191

7.3 图的矩阵表示192

7.4 矩阵密码在保密通讯中的应用194

小结197

附录 MATLAB简介198

习题答案与提示209

名词索引228

参考文献232