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第一部分 最小二乘方法的框架3

第1章 数据拟合问题的引入3

1.1 什么是数据拟合？3

1.2 符号说明4

1.3 线性与非线性问题5

1.4 线性数据拟合的应用实例7

1.4.1 估计常数8

1.4.2 估计直线中的参数（线性回归）9

1.4.3 多项式函数9

1.4.4 多元线性回归9

1.5 若干非线性数据拟合问题14

1.5.1 指数函数14

1.5.2 复合高斯贝尔函数15

1.5.3 圆周函数16

1.5.4 神经网络17

1.6 测试题19

第2章 利用最小二乘方法求解模型参数20

2.1 什么是“最小二乘”20

2.2 求解最小化问题的一般性算法22

2.3 值得注意的问题24

2.4 对线性模型函数的简化25

2.5 在未知模型函数条件下的曲线拟合26

2.5.1 例子126

2.5.2 例子227

2.5.3 例子327

2.6 计算实例28

2.6.1 常数拟合28

2.6.2 直线拟合28

2.6.3 多项式函数拟合29

2.6.4 平面拟合30

2.6.5 线性预测30

2.6.6 余弦函数拟合31

2.6.7 坐标旋转和移位31

2.6.8 指数函数拟合32

2.6.9 复合高斯贝尔函数拟合33

2.6.10 圆周拟合34

2.6.11 神经网络34

2.7 测试题36

第3章 权值和异常值38

3.1 加权的好处是什么？38

3.2 异常值39

3.3 估计权值40

3.3.1 分段估计权值41

3.3.2 基于偏差估计权值42

3.4 异常值检测方法44

3.4.1 标准残差法45

3.4.2 聚类检测法46

3.5 加权数据拟合与异常值检测的应用实例54

3.5.1 常数拟合54

3.5.2 直线拟合56

3.5.3 平面拟合61

3.5.4 坐标变换63

3.5.5 线性预测65

3.5.6 余弦函数拟合65

3.5.7 指数函数拟合70

3.5.8 复合高斯贝尔函数拟合72

3.5.9 圆周拟合76

3.5.10 对分段估计权值和基于偏差估计权值进行比较76

3.6 结论78

3.6.1 加权评估79

3.6.2 异常值检测方法的比较79

3.6.3 权值的用处80

3.7 测试题81

第4章 拟合结果的不确定度82

4.1 拟合优度、精确度和准确度82

4.1.1 统计模型和数据的一致性82

4.1.2 拟合方差83

4.2 参数估计值的不确定度84

4.3 模型预测的不确定度85

4.4 图形检查86

4.5 计算实例87

4.5.1 常数拟合87

4.5.2 直线拟合89

4.5.3 余弦函数拟合91

4.5.4 模型失配91

4.6 测试题97

第二部分 数学、优化方法以及附加内容101

第5章 矩阵代数101

5.1 矩阵基础知识101

5.2 行列式104

5.3 矩阵求逆的数值解106

5.3.1 伴随矩阵法106

5.3.2 Gauss-Jordan消元法107

5.3.3 LU分解方法109

5.3.4 奇异值分解（SVD）方法114

5.4 测试题115

第6章 最小二乘方法背后的理念117

6.1 正态分布117

6.2 最大似然原理118

6.3 拟合线性模型函数119

6.3.1 标准方法119

6.3.2 利用奇异值分解（SVD）进行求解120

6.3.3 条件缩放121

6.4 拟合非线性模型函数122

6.4.1 误差曲面的近似122

6.4.2 Gauss-Newton方法123

6.4.3 梯度下降方法125

6.4.4 Levenberg-Marquardt方法126

6.4.5 寻求极小值点的计算实例126

6.5 测试题133

第7章 补充工具和方法134

7.1 其他参数估计方法134

7.1.1 递推自适应参数估计方法134

7.1.2 迭代的梯度下降方法134

7.1.3 进化方法135

7.2 用于异常值检测的Chauvenet准则135

7.3 误差传播原理138

7.4 线性最小二乘问题的手工推演140

7.5 不同模型函数的联合处理142

7.5.1 例子1：坐标变换144

7.5.2 例子2：圆周运动145

7.6 总体最小二乘（TLS）拟合147

7.6.1 圆周正交拟合147

7.6.2 一般方法149

7.7 测试题151

附录A 两种异常值检测方法的比较153

附录B 软件实现162

参考文献188

名词索引192

部分习题解答198

符号说明212