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引言1

第一章 复数与复变函数3

1.复数3

1.复数域3

2.复平面5

3.复数的模与辐角7

4.复数的乘幂与方根13

5.共轭复数16

6.复数在几何上的应用举例18

2.复平面上的点集21

1.平面点集的几个基本概念21

2.区域与若尔当（Jordan）曲线22

3.复变函数28

1.复变函数的概念28

2.复变函数的极限与连续性32

4.复球面与无穷远点38

1.复球面38

2.扩充复平面上的几个概念39

第一章习题41

第二章 解析函数46

1.解析函数的概念与柯西-黎曼方程46

1.复变函数的导数与微分46

2.解析函数及其简单性质48

3.柯西-黎曼方程50

4.用z和-z刻画复函数57

2.初等解析函数59

1.指数函数59

2.三角函数与双曲函数61

3.初等多值函数65

1.根式函数65

2.对数函数74

3.一般幂函数与一般指数函数79

4.具有多个有限支点的情形80

5.反三角函数与反双曲函数86

第二章习题89

第三章 复变函数的积分95

1.复积分的概念及其简单性质95

1.复变函数积分的定义95

2.复变函数积分的计算问题98

3.复变函数积分的基本性质99

2.柯西积分定理102

1.柯西积分定理102

2.柯西积分定理的古尔萨证明104

3.不定积分109

4.柯西积分定理的推广112

5.柯西积分定理推广到复周线的情形114

3.柯西积分公式及其推论117

1.柯西积分公式117

2.解析函数的无穷可微性120

3.柯西不等式与刘维尔（Liouville）定理124

4.莫雷拉Morera定理125

5.柯西型积分127

4.解析函数与调和函数的关系128

5.平面向量场——解析函数的应用（一）134

1.流量与环量135

2.无源、漏的无旋流动136

3.复势137

第三章习题139

第四章 解析函数的幂级数表示法144

1.复级数的基本性质144

1.复数项级数144

2.一致收敛的复函数项级数147

3.解析函数项级数149

2.幂级数151

1.幂级数的敛散性151

2.收敛半径R的求法，柯西-阿达马Cauchy-Hadamard公式153

3.幂级数和的解析性155

3.解析函数的泰勒（Taylor）展式156

1.泰勒定理156

2.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况159

3.一些初等函数的泰勒展式161

4.解析函数零点的孤立性及惟一性定理167

1.解析函数零点的孤立性167

2.惟一性定理170

3.最大模原理172

第四章习题174

第五章 解析函数的洛朗（Laurent）展式与孤立奇点180

1.解析函数的洛朗展式180

1.双边幂级数180

2.解析函数的洛朗展式181

3.洛朗级数与泰勒级数的关系184

4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式185

2.解析函数的孤立奇点189

1.孤立奇点的三种类型189

2.可去奇点190

3.施瓦茨（Schwarz）引理191

4.极点193

5.本质奇点194

6.皮卡（Picard）定理195

3.解析函数在无穷远点的性质199

4.整函数与亚纯函数的概念205

1.整函数205

2.亚纯函数205

5.平面向量场——解析函数的应用二207

1.奇点的流体力学意义207

2.在电场中的应用举例209

第五章习题213

第六章 留数理论及其应用219

1.留数219

1.留数的定义及留数定理219

2.留数的求法221

3.函数在无穷远点的留数225

2.用留数定理计算实积分228

1.计算∫2π 0 R（cosθ，sinθ）dθ型积分228

2.计算∫+∞ -∞ P（x）/Q（x）dx型积分233

3.计算∫+∞ -∞ P（x）/Q（x）eimx dx型积分236

4.计算积分路径上有奇点的积分239

5.杂例241

6.应用多值函数的积分244

3.辐角原理及其应用252

1.对数留数252

2.辐角原理254

3.鲁歇Rouche定理258

第六章习题262

第七章 共形映射268

1.解析变换的特性268

1.解析变换的保域性268

2.解析变换的保角性——导数的几何意义270

3.单叶解析变换的共形性273

2.分式线性变换276

1.分式线性变换及其分解276

2.分式线性变换的共形性279

3.分式线性变换的保交比性280

4.分式线性变换的保圆周圆性282

5.分式线性变换的保对称点性283

6.分式线性变换的应用286

3.某些初等函数所构成的共形映射291

1.幂函数与根式函数291

2.指数函数与对数函数294

3.由圆弧构成的两角形区域的共形映射295

4.机翼剖面函数及其反函数所构成的共形映射297

5.茹科夫斯基函数的单叶性区域301

4.关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理302

1.黎曼存在定理302

2.边界对应定理304

第七章习题307

第八章 解析延拓312

1.解析延拓的概念与幂级数延拓312

1.解析延拓的概念312

2.解析延拓的幂级数方法316

2.透弧解析延拓、对称原理321

1.透弧直接解析延拓322

2.黎曼-施瓦茨对称原理323

3.完全解析函数及黎曼面的概念328

1.完全解析函数328

2.单值性定理329

3.黎曼面概念333

4.多角形区域的共形映射338

1.克里斯托费尔（Christoffel）-施瓦茨变换338

2.退化情形343

3.广义多角形举例346

第八章习题349

第九章 调和函数353

1.平均值定理与极值原理353

1.平均值定理353

2.极值原理354

2.泊松积分公式与狄利克雷问题355

1.泊松积分公式355

2.狄利克雷问题356

3.单位圆内狄利克雷问题的解357

4.上半平面内狄利克雷问题的解360

第九章习题363

部分习题参考答案365

名词索引374