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第1章 函数、极限与连续1

1.1 函数1

1.1.1 集合、区间、邻域1

1.1.2 函数的概念2

1.1.3 函数的特性4

习题1.16

1.2 初等函数7

1.2.1 反函数7

1.2.2 基本初等函数7

1.2.3 复合函数9

1.2.4 初等函数10

1.2.5 双曲函数及反双曲函数10

习题1.212

1.3 数列的极限12

1.3.1 数列极限的概念13

1.3.2 数列极限的性质15

习题1.317

1.4 函数的极限18

1.4.1 当x→∞时，函数f（x）的极限18

1.4.2 当x→x0时，函数f（x）的极限20

1.4.3 函数极限的性质23

习题1.424

1.5 无穷大与无穷小25

1.5.1 无穷小量25

1.5.2 无穷大量27

1.5.3 无穷大量与无穷小量的关系28

习题1.529

1.6 极限的运算法则29

习题1.633

1.7 极限存在准则及两个重要极限34

1.7.1 极限存在准则34

1.7.2 两个重要极限36

习题1.739

1.8 无穷小量阶的比较40

习题1.842

1.9 函数的连续性与间断点42

1.9.1 函数的连续性42

1.9.2 函数的间断点44

习题1.947

1.10 连续函数的运算及闭区间上连续函数的性质48

1.10.1 连续函数的四则运算48

1.10.2 反函数与复合函数的连续性48

1.10.3 初等函数的连续性49

1.10.4 闭区间上连续函数的性质51

1.10.5 函数的一致连续性53

习题1.1054

总习题155

第2章 导数与微分57

2.1 导数的概念57

2.1.1 引例57

2.1.2 导数的定义59

2.1.3 求导数举例62

2.1.4 导数的几何、物理、化学意义63

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系65

习题2.166

2.2 函数的求导法则67

2.2.1 导数的四则运算法则67

2.2.2 反函数的导数69

2.2.3 复合函数的求导法则71

习题2.275

2.3 高阶导数76

习题2.379

2.4 隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数79

2.4.1 隐函数的导数79

2.4.2 对数求导法81

2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数82

2.4.4 相关变化率85

习题2.486

2.5 函数的微分87

2.5.1 微分的定义87

2.5.2 微分的几何意义89

2.5.3 基本初等函数的微分公式和微分的运算法则90

2.5.4 微分在近似计算中的应用92

习题2.594

总习题295

第3章 中值定理与导数的应用97

3.1 中值定理97

3.1.1 罗尔（Rolle）定理97

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理99

3.1.3 柯西（Cauchy）中值定理103

习题3.1104

3.2 洛必达（L′Hospital）法则105

习题3.2109

3.3 泰勒公式110

3.3.1 泰勒（Taylor）公式110

3.3.2 常见初等函数的带皮亚诺型余项的麦克劳林公式114

3.3.3 麦克劳林公式和泰勒公式的应用115

习题3.3117

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性118

3.4.1 函数的单调性118

3.4.2 曲线的凹凸性120

习题3.4124

3.5 函数的极值与最值125

3.5.1 函数的极值125

3.5.2 函数的最值128

习题3.5131

3.6 函数图形的描绘132

3.6.1 渐近线132

3.6.2 函数图形的描绘133

习题3.6135

3.7 平面曲线的曲率136

3.7.1 曲线曲率的定义136

3.7.2 弧长的微分138

3.7.3 曲率的计算及曲率半径139

习题3.7142

总习题3142

第4章 不定积分146

4.1 不定积分的概念与性质146

4.1.1 原函数与不定积分的概念146

4.1.2 不定积分的几何意义148

4.1.3 不定积分的性质148

4.1.4 基本积分公式149

习题4.1151

4.2 换元积分法151

4.2.1 第一换元法（凑微分法）151

4.2.2 第二换元积分法157

习题4.2161

4.3 分部积分法162

习题4.3166

4.4 有理函数的积分166

4.4.1 有理函数的积分166

4.4.2 可化为有理函数的积分170

习题4.4172

总习题4172

第5章 定积分174

5.1 定积分的概念与性质174

5.1.1 定积分问题举例174

5.1.2 定积分的定义176

5.1.3 定积分的性质179

习题5.1183

5.2 微积分基本公式183

5.2.1 积分上限函数及其导数184

5.2.2 微积分基本公式188

习题5.2190

5.3 定积分的积分方法191

5.3.1 定积分的换元积分法191

5.3.2 定积分的分部积分法196

习题5.3198

5.4 定积分的近似运算199

5.4.1 矩形法199

5.4.2 梯形法199

5.4.3 抛物线法（辛普森法）200

习题5.4201

5.5 广义积分202

5.5.1 无穷限的广义积分202

5.5.2 无界函数的广义积分204

习题5.5206

5.6 广义积分的审敛法与Γ函数206

5.6.1 无穷限的广义积分的审敛法206

5.6.2 无界函数的广义积分的审敛法208

5.6.3 Γ函数209

习题5.6210

总习题5210

第6章 定积分的应用213

6.1 定积分的微元法213

6.2 定积分在几何学上的应用215

6.2.1 平面图形的面积215

6.2.2 体积218

6.2.3 平面曲线的弧长221

习题6.2223

6.3 定积分在物理学上的应用224

6.3.1 变力做功问题224

6.3.2 水压力225

6.3.3 引力226

6.3.4 转动惯量227

习题6.3228

总习题6228

第7章 无穷级数230

7.1 常数项级数的概念和性质230

7.1.1 引例230

7.1.2 常数项级数的概念231

7.1.3 收敛级数的基本性质233

习题7.1236

7.2 常数项级数审敛法237

7.2.1 正项级数审敛法237

7.2.2 交错级数的审敛法244

7.2.3 绝对收敛与条件收敛245

习题7.2247

7.3 幂级数249

7.3.1 函数项级数的概念249

7.3.2 幂级数的收敛性250

7.3.3 幂级数的运算255

习题7.3258

7.4 函数展开成幂级数259

7.4.1 泰勒级数的概念259

7.4.2 将函数展开成幂级数261

习题7.4267

7.5 函数的幂级数展开式的应用267

7.5.1 求常数项级数的和267

7.5.2 函数值的近似计算268

7.5.3 定积分的近似计算269

7.5.4 欧拉公式270

习题7.5271

7.6 傅里叶（Fourier）级数272

7.6.1 三角级数、三角函数的正交性272

7.6.2 周期为2π的函数的傅里叶级数273

7.6.3 周期为2l的函数的傅里叶级数280

7.6.4 傅里叶级数的复数形式283

习题7.6285

总习题7287

习题参考答案及提示291

参考书目328