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第1章 命题逻辑1

1.1 命题与逻辑联结词2

1.1.1 命题的概念2

1.1.2 逻辑联结词3

1.1.3 原子命题和复合命题6

1.1.4 应用6

习题1.17

1.2 命题公式及公式分类8

1.2.1 命题公式的概念8

1.2.2 命题公式的分类8

1.2.3 应用10

习题1.210

1.3 等值式与等值演算11

1.3.1 基本等值式11

1.3.2 等值演算12

1.3.3 应用13

习题1.315

1.4 范式与主范式16

1.4.1 范式16

1.4.2 主范式17

1.4.3 应用20

习题1.421

1.5 推理理论22

1.5.1 形式证明23

1.5.2 应用26

习题1.529

第2章 谓词逻辑30

2.1 基本概念30

2.1.1 个体与谓词30

2.1.2 量词32

习题2.133

2.2 谓词公式34

2.2.1 谓词公式概述34

2.2.2 谓词公式的类型35

习题2.238

2.3 谓词逻辑蕴含式和等值式38

2.3.1 谓词逻辑蕴含式和等值式38

2.3.2 量词的收缩与扩张39

2.3.3 常用的量词等值式40

2.3.4 多个量词的使用41

习题2.342

2.4 前束范式42

2.4.1 前束范式42

2.4.2 前束合取范式43

2.4.3 前束析取范式43

习题2.444

2.5 谓词逻辑推理理论44

习题2.547

2.6 应用48

2.6.1 人工智能中的归结演绎推理48

2.6.2 基本思路51

2.6.3 使用步骤52

2.6.4 完备性52

2.6.5 举例说明52

第3章 关系54

3.1 笛卡儿积54

3.1.1 有序对54

3.1.2 笛卡儿积55

3.1.3 知识点：笛卡儿积与数据库57

3.1.4 拓展58

习题3.159

3.2 关系的概念与表示方法60

3.2.1 关系的基本概念60

3.2.2 拓展：n-ary关系与关系型数据库61

3.2.3 关系矩阵与关系图64

习题3.266

3.3 关系的运算66

3.3.1 关系的逆运算66

3.3.2 关系的复合运算68

3.3.3 关系的幂70

习题3.370

3.4 关系的性质71

习题3.474

3.5 关系的闭包76

3.5.1 关系闭包的概念76

3.5.2 关系闭包的求法76

3.5.3 拓展79

习题3.580

3.6 关系等价与划分80

3.6.1 等价关系80

3.6.2 等价类82

3.6.3 集合的划分84

3.6.4 划分与等价关系85

3.6.5 应用86

习题3.688

3.7 偏序关系89

3.7.1 偏序和拟序89

3.7.2 哈斯图90

3.7.3 偏序关系的应用93

习题3.794

第4章 函数96

4.1 函数的概念97

4.1.1 函数的基本概念97

4.1.2 拓展99

习题4.1101

4.2 特殊函数101

习题4.2103

4.3 逆函数与复合函数103

4.3.1 逆函数103

4.3.2 复合函数104

习题4.3107

4.4 几个重要的函数108

4.4.1 取整函数108

4.4.2 序列和字符串109

4.4.3 拓展110

4.5 函数的应用111

4.5.1 数字图像的函数模型111

4.5.2 函数在数字图像平滑处理中的应用111

4.5.3 二维图像的梯度函数（算子）分析113

第5章 代数系统115

5.1 二元运算与代数系统115

5.1.1 运算115

5.1.2 二元运算的性质116

5.1.3 二元运算的特殊元素119

5.1.4 代数系统的定义122

5.1.5 应用122

习题5.1123

5.2 子代数与积代数124

5.2.1 子代数124

5.2.2 积代数125

习题5.2126

5.3 代数系统的同态与同构126

5.3.1 同态与同构的概念126

5.3.2 满同态的性质128

5.3.3 应用129

习题5.3132

第6章 几个特殊的代数系统133

6.1 半群133

6.1.1 半群133

6.1.2 独异点134

6.1.3 拓展134

习题6.1135

6.2 群与子群135

6.2.1 群的定义135

6.2.2 群的性质137

6.2.3 子群139

6.2.4 应用141

习题6.2143

6.3 循环群与置换群143

6.3.1 循环群143

6.3.2 置换群144

6.3.3 应用：置换群与pólya定理145

习题6.3146

6.4 环和域147

6.4.1 环的定义及其性质147

6.4.2 域的定义150

习题6.4151

第7章 图论基础152

7.1 图的定义及相关概念153

7.1.1 图的定义153

7.1.2 顶点的度数154

7.1.3 补图和子图156

7.1.4 同构157

习题7.1158

7.2 通路、回路与连通图158

7.2.1 通路与回路159

7.2.2 连通图159

习题7.2160

7.3 图的矩阵表示161

7.3.1 邻接矩阵162

7.3.2 关联矩阵164

7.3.3 可达矩阵165

习题7.3166

7.4 欧拉图与哈密顿图167

7.4.1 欧拉图167

7.4.2 哈密顿图169

7.4.3 哈密顿回路算法的实现170

习题7.4171

7.5 最短路径问题与货郎担问题172

7.5.1 最短路径问题172

7.5.2 货郎担问题（旅行商问题）174

习题7.5175

7.6 平面图和图的着色175

7.6.1 基本概念175

7.6.2 图的m着色问题算法的实现178

习题7.6179

7.7 应用179

7.7.1 考试安排问题179

7.7.2 ACM竞赛题180

第8章 树185

8.1 无向树及性质185

8.1.1 树的定义185

8.1.2 树的性质186

习题8.1188

8.2 根树188

8.2.1 根树及相关概念188

8.2.2 二叉树189

8.2.3 二叉搜索树193

8.2.4 应用：哈夫曼编码194

习题8.2196

8.3 生成树197

8.3.1 生成树概念197

8.3.2 最小生成树199

8.3.3 Kruskal算法199

8.3.4 Prim算法201

习题8.3202

8.4 树在ACM竞赛题中的应用203

8.4.1 百岛湖问题203

8.4.2 NTA问题205

第9章 格与布尔代数211

9.1 格212

9.1.1 格的定义与性质212

9.1.2 应用：信息流的格模型215

习题9.1215

9.2 特殊的格215

9.2.1 分配格215

9.2.2 有界格和有补格217

习题9.2218

9.3 布尔代数218

9.3.1 基本概念218

9.3.2 应用：逻辑门219

习题9.3221

专用术语汉英对照222

参考文献229