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模型篇 常见数学物理方程3

第一章 科学与工程中的数学物理方程举例与基本概念3

1.1 热传导方程及其定解问题4

1.2 波动方程及其定解问题7

1.3 稳态电磁场方程及其定解问题10

1.4 扩散方程及其定解问题12

1.5 基本概念14

【史料趣话】偏微分方程的发展历程15

习题一18

第二章 叠加原理与齐次化原理20

2.1 线性定解问题的叠加原理20

2.2 非齐次方程的齐次化原理21

【史料趣话】数学家阿达玛23

习题二24

方法篇 数学物理方程的典型解法27

第三章 分离变量法27

3.1 矩形区域上齐次方程的分离变量法27

3.2 规则区域上齐次方程的分离变量法34

3.3 非齐次方程的解法44

3.4 非齐次边界条件的处理49

3.5 泊松方程54

【史料趣话】数学物理学家达朗贝尔与泊松57

习题三59

第四章 行波法62

4.1 一维波动方程柯西问题的达朗贝尔公式——行波法62

4.2 三维波动方程柯西问题的泊松公式——球面平均法67

4.3 二维波动方程柯西问题的泊松公式——降维法69

4.4 非齐次波动方程柯西问题——齐次化原理71

4.5 二阶线性偏微分方程的特征线方法73

【史料趣话】数学家柯西75

习题四76

第五章 积分变换法78

5.1 傅里叶变换78

5.2 拉普拉斯变换81

5.3 傅里叶变换的应用83

5.4 拉普拉斯变换的应用86

【史料趣话】数学物理学家傅里叶89

习题五90

第六章 格林函数法92

6.1 δ函数与拉普拉斯方程的基本解92

6.2 格林公式与调和函数的表示95

6.3 格林函数与拉普拉斯方程解的表示98

【史料趣话】数学家格林103

习题六104

第七章 差分解法初步106

7.1 差分方法的基本思想106

7.2 一些典型定解问题的差分法109

【史料趣话】数学家欧拉120

习题七122

应用篇 数学物理方程的若干应用专题127

第八章 科学与工程中的若干应用专题127

8.1 张力和压力作用下的膜动力学方程127

8.2 烟雾浓度的扩散模型128

8.3 交通流模型130

8.4 半导体内杂质扩散方程131

8.5 亥姆霍兹方程133

【史料趣话】数学家希尔伯特134

第九章 数学物理方程反问题简介136

9.1 反问题举例136

9.2 热传导方程反问题138

9.3 波动方程反问题144

9.4 拉普拉斯方程反问题148

【史料趣话】反问题趣话151

习题九151

延伸篇 正交规范基与积分方程155

第十章 正交规范基与特殊函数简介155

10.1 向量空间Rn及其正交规范基155

10.2 函数空间的正交规范基157

10.3 几类特殊函数及其图形表示159

【史料趣话】数学家贝塞尔、勒让德与埃尔米特165

习题十167

第十一章 特征值与特征函数168

11.1 典型常微分方程特征值问题168

11.2 施图姆-刘维尔特征值问题171

【史料趣话】施图姆-刘维尔理论的创始人173

习题十一174

第十二章 积分变换的性质与应用175

12.1 傅里叶变换的性质与证明175

12.2 积分变换的例题176

12.3 积分变换简表180

【史料趣话】数学物理学家拉普拉斯184

习题十二186

第十三章 积分方程初步188

13.1 积分方程的基本概念188

13.2 第二类弗雷德霍姆型积分方程逐次逼近法189

13.3 第一类弗雷德霍姆型积分方程的特征191

【史料趣话】积分方程先驱弗雷德霍姆193

习题十三193

部分习题提示195

参考文献203