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第1章　单变量正交多项式ODE定义与B-网表示1

1.1 最简单的常微分方程本征问题1

1.2　单变量单参数正交多项式5

1.2.1 幂函数表示5

1.2.2　三项递推公式7

1.2.3 Gegenbauer多项式10

1.3 一维有界区间上正交多项式的B-网表示12

1.3.1 单变量多项式的Bernstein基及B-B多项式12

1.3.2 Chebyshev多项式的B-网表示15

1.3.3 Gegenbauer多项式的B-网表示17

1.4　单变量Jacobi正交多项式及其B-网表示22

1.4.1 双参数常微分方程本征问题及B-网表示22

1.4.2 经典Jacobi多项式及其B-网表示24

1.5　生成双变量正交多项式的Koornwinder方法26

第2章　三向齐次坐标下的Fourier变换与广义三角函数变换28

2.1 平面三向齐次坐标与函数表示29

2.1.1 三向齐次坐标的定义与性质29

2.1.2 三向坐标下函数的周期性与对称性31

2.1.3 常用偏微分算子的三向坐标表示34

2.1.4 三向网格与差分格式34

2.2 三向坐标下的Fourier函数系及其性质36

2.2.1 二元Fourier函数系及其基本性质36

2.2.2 二阶与三阶偏微分本征方程38

2.2.3 二元Fourier级数的逼近性质43

2.3　平行六边形离散内积与Fourier插值47

2.4　三向坐标下广义正弦函数与余弦函数及其性质49

2.4.1 广义三角函数定义与正交性49

2.4.2 广义三角函数的主要性质51

2.4.3 广义余弦函数的极值性质57

2.5　二元广义三角函数在重心坐标下的实表示60

2.5.1 三角区域广义实正弦函数的构造与性质60

2.5.2 三角区域广义实余弦函数的构造与性质68

第3章　平行六边形区域快速离散Fourier变换算法76

3.1 平行六边形区域快速离散Fourier变换基础77

3.1.1 平行六边形区域离散Fourier变换77

3.1.2 快速算法推导：N=2p78

3.1.3 快速算法推导：一般情形83

3.2　算法复杂度分析86

3.3　平行六边形域快速算法的实现技术90

3.3.1 数据结构90

3.3.2 HFFT算法91

3.3.3 多色排序算法与快速乘法93

3.4　数值计算实例95

第4章　三角域DCT,DST及其快速算法97

4.1 三角区域的离散广义正弦变换97

4.1.1 三角采样网格97

4.1.2 正变换与反变换98

4.1.3 三角区域的快速广义正弦变换100

4.2　三角区域的离散广义余弦变换105

4.2.1 正变换与反变换105

4.2.2 三角区域的快速离散余弦变换107

4.3　数值实验111

4.3.1 直接法与快速算法效率比较111

4.3.2 应用实例112

4.4　基于Matlab的HFFT算法库115

第5章　三角域正交多项式PDE定义与B-网表示119

5.1 一类复变量正交多项式的PDE定义119

5.2　正三角形上复Legendre型多项式122

5.3　三角域上带参数的正交多项式129

5.3.1 单参数复正交多项式的幂函数表示与递推公式129

5.3.2 三参数Jacobi型复本征多项式133

5.3.3 等腰直角三角域上的Appell多项式135

5.4　三角域复本征多项式B-网表示138

5.4.1 二元多项式Bernstein基及三角域B-B多项式138

5.4.2 三角域复本征多项式B-网表示144

5.4.3 B-网系数满足的偏差分方程157

第6章　广义曲边三角形区域族上的正交多项式162

6.1 单位圆域上正交多项式的偏微分方程定义163

6.2 内摆线域上的正交多项式169

6.2.1 Steiner内摆线域169

6.2.2 三向坐标与z-坐标之间映射的Jacobi170

6.2.3 正交多项式的二阶偏微分本征方程定义172

6.2.4 正交多项式的三层四项递推公式174

6.2.5 Jacobi型首一正交多项式幂级数表示177

6.3 内摆线域Chebyshev多项式通式181

6.3.1 二元若干低阶Chebyshev多项式181

6.3.2 二元第一类Chebyshev多项式幂级数通式181

6.3.3 二元第二类Chebyshev多项式幂级数通式186

6.4 内摆线域Chebyshev多项式的特性189

6.4.1 Chebyshev多项式与广义三角函数之间的内在联系189

6.4.2 Chebyshev多项式最小零偏差性质190

6.4.3 Chebyshev多项式零点与Gaussian积分公式197

6.5　二元正交多项式与一阶偏微分-差分方程200

6.5.1 第一类Chebyshev多项式200

6.5.2 一般单参数首一正交多项式情况202

6.6　二元正交多项式与三阶偏微分本征方程203

6.7 广义曲边三角形区域族上的正交多项式206

第7章　平行六边形上的正交分解与分片多项式211

7.1 平行六边形函数空间的两类正交分解211

7.2 正六边形域Laplace零边值本征函数的正交近似解213

7.2.1 最小本征值及其本征函数的近似214

7.2.2 若干低频本征函数的近似表示216

7.2.3 本征值下界计算219

7.3　平行六边形上的正交多项式221

7.4　平行六边形上的样条函数与插值224

7.4.1 三向平行四边形剖分上的双线性B-样条226

7.4.2 分片双二次函数空间插值233

7.5　平行六边形有限元的构造241

7.5.1 基于边的三线性六边形元246

7.5.2 基于顶点的旋转三线性六边形元247

第8章　四面体域上的正交多项式与B-网表示249

8.1 等腰四面体域上正交多项式的PDE定义249

8.2 四面体上复正交多项式254

8.2.1 四面体上Legendre型复多项式254

8.2.2 四面体上Jacobi型复多项式257

8.3 笛卡儿坐标下三维标准单纯形域上的正交多项式259

8.4 四面体域复正交多项式的Bernstein形式261

8.4.1 三元多项式Bernstein基及四面体域B-B多项式261

8.4.2 三元Legendre型复多项式的Bernstein形式264

8.4.3 三元Jacobi型复多项式的Bernstein形式275

第9章　曲四面体域上的正交多项式与三层递推公式280

9.1 曲边四面内摆体域280

9.2 曲边四面内摆体域上的正交多项式285

9.2.1 三维偏微分本征方程定义与三层递推公式285

9.2.2　推导与证明296

9.3 三变量Chebyshev及Legendre型多项式307

9.3.1 第一类Chebyshev型多项式308

9.3.2 第二类Chebyshev型多项式311

9.3.3 Legendre型首一多项式314

9.4　Chebyshev多项式满足的一阶偏微分差分方程316

9.5 曲四面体域族Ωμ,ν上的正交多项式319

9.5.1 曲四面体域族Ωμ,ν319

9.5.2 Ωμ,ν上正交多项式的偏微分方程定义319

第10章　四面体与平行十二面体上的Fourier变换325

10.1　三维四向剖分与六向坐标325

10.2　三维基本Fourier函数系329

10.3　从三维单纯形到曲单纯形的映射331

10.4　广义三维正弦函数与余弦函数340

10.5　菱形十二面体上的一类B-样条345

第11章　非传统区域快速Fourier变换及并行算法348

11.1　三维四方向十二面体的几何性质349

11.1.1　三维四方向十二面体定义349

11.1.2　Tiling351

11.1.3　N剖分和四面体剖分353

11.1.4　对偶354

11.1.5　菱形十二面体355

11.2　平行十二面体区域上的广义离散傅立叶变换357

11.3　HFFT算法358

11.4　算法实现361

11.4.1　数据结构361

11.4.2　数据排列361

11.4.3　HFFT算法362

11.5　数值计算与应用实例363

11.6　二维与三维快速Fourier变换的并行算法368

11.6.1　数据结构368

11.6.2　并行算法371

11.6.3　算法实现376

11.7　数值试验与结果分析378

第12章　多向Fourier积分与B-样条的B-网表示382

12.1　二元三方向剖分上B-样条的B-网表示382

12.1.1　单变量B-样条的B-网表示382

12.1.2　二元S1 3与S1 4空间B-样条的B-网表示384

12.2　三元四方向剖分下S1 4空间B-样条的B-网表示393

12.2.1　三维S1 4中B-样条的分片多项式表示396

12.2.2　三维S1 4在六个二维三方向平面上的投影401

12.3　三向坐标下的Fourier积分变换与B-样条402

12.4　三维四向齐次坐标下的Fourier积分变换与B-样条408

第13章　高维超单纯形域Fourier变换及快速变换418

13.1　超单纯形定义与Tiling性质418

13.2　超单纯形基本域Fourier函数系423

13.2.1　Fourier函数定义与基本性质423

13.2.2　Fourier函数递推公式426

13.2.3　广义Fourier级数430

13.3　高维离散Fourier变换431

13.4　高维快速离散Fourier变换432

第14章　高维单纯形域广义三角函数436

14.1　d维空间中的广义正弦函数与广义余弦函数436

14.2　广义三角函数某些性质441

14.3　广义三角变换及其快速变换451

第15章　高维单纯形域复正交多项式及其Bernstein形式453

15.1　高维单纯形域上的特征矩阵与z-坐标453

15.1.1　笛卡儿坐标下标准单纯形域及其特征矩阵453

15.1.2　高维单纯形域与z-坐标455

15.1.3　标准单纯形特征矩阵在z-坐标下的表示458

15.2　高维单纯形域Jacobi型复多项式463

15.3　高维复正交多项式的Bernstein表示466

15.3.1　高维Bernstein基的积分性质466

15.3.2　Bernstein多项式升维延拓的定义与性质469

15.3.3　高维Jacobi型复多项式的Bernstein形式471

第16章　高维曲单纯形域上正交多项式475

16.1　高维曲单纯形的特征矩阵与z-坐标475

16.1.1　曲单纯形域的定义与特征矩阵475

16.1.2　推导与证明487

16.2　高维曲单纯形域上单参数正交多项式496

16.2.1　高维曲单纯形域上的本征值问题496

16.2.2　Chebyshev多项式与三层递推公式503

16.2.3　例：四维曲边单纯形域上的正交多项式507

参考文献513

索引518