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第0章 E3中曲线和曲面的局部概论1

1 E3中的曲线1

1.1 曲线的表示1

1.2 曲线的Frenet标架 曲率和挠率2

1.3 曲线论的基本公式和基本定理4

2 E3中的曲面6

2.1 曲面的表示6

2.2 曲面上的活动标架 第一基本形式7

2.3 长度、角度和面积元9

2.4 常见曲面10

3 曲面上的曲率14

3.1 曲面的第二基本形式14

3.2 Weingarten变换 主曲率15

3.3 Gauss曲率 平均曲率 曲率线16

3.4 Gauss映射 第三基本形式19

4 曲面的局部理论22

4.1 自然标架的基本公式22

4.2 测地曲率 测地线23

4.3 法坐标与测地极坐标24

第一章 活动标架法28

1 幺正标架28

1.1 幺正标架28

1.2 双参数下的外乘法与外微分30

1.3 幺正标架的运动方程32

2 外微分形式34

2.1 外代数35

2.2 外微分形式37

2.3 外微分40

2.4 微分形式的积分41

3 可积系统44

3.1 E3的结构方程44

3.2 Frobenius定理44

4 曲线和曲面的基本定理47

4.1 曲线论基本定理47

4.2 用活动幺正标架研究曲面48

4.2.1 联络与第二基本形式48

4.2.2 测地曲率的Liouville公式49

4.2.3 Gauss美妙定理50

4.3 曲面论基本定理52

第二章 曲线的整体微分几何57

1 平面曲线的某些整体性质58

1.1 等周不等式58

1.2 曲线的旋转指标61

1.2.1 映射的度数61

1.2.2 旋转指标定理64

1.3 凸闭曲线67

2 空间曲线的某些整体性质70

2.1 球面上的Crofton公式71

2.2 空间曲线的全曲率73

2.3 空间曲线的全挠率77

第三章 E3中曲面的整体微分几何84

1 曲面的Gauss-Bonnet公式84

1.1 曲面的整体描述84

1.2 Gauss-Bonnet公式88

2 Liebmann定理92

2.1 球面的刚性92

2.2 两个引理93

2.3 Liebmann定理的证明96

3 凸曲面和积分公式97

3.1 凸曲面的Hadamard定理97

3.2 Cohn-Vossen定理99

3.3 Minkowski积分公式102

4 Minkowski问题和Christoffel问题的唯一性103

4.1 概述103

4.2 基本公式104

4.3 Minkowski问题的唯一性105

4.4 Christoffel问题的唯一性107

5 全平均曲率与Willmore猜想109

5.1 全平均曲率109

5.2 球面的一个特征111

5.3 环面的全平均曲率113

5.4 Fenchel定理115

6 常负曲率曲面和Backlund变换116

6.1 常负曲率曲面和SG方程116

6.2 伪球线汇和焦曲面119

6.3 Backlund变换121

7 Hilbert定理124

7.1 负曲率曲面上的渐近线网124

7.2 常负曲率完备曲面上的整体渐近线网126

7.3 定理的证明129

8 Hartman-Nirenberg定理130

8.1 预备引理130

8.2 定理的证明133

9 极小曲面的Bernstein定理135

9.1 共变微分和Laplacian△135

9.2 关于Gauss曲率的计算139

9.3 极小图的Gauss曲率计算140

9.4 Bernstein定理的证明141

10 常平均曲率曲面143

10.1 面积的变分143

10.2 保体积的变分145

10.3 Hopf定理148

第四章 曲面的内蕴几何学152

1 曲面上的向量场152

1.1 曲面上的向量场152

1.2 曲面上向量场的平行移动153

1.3 向量场的奇点156

1.4 抽象曲面上的向量场159

2 测地线与完备曲面163

2.1 测地线163

2.2 指数映射exp164

2.3 测地线的最短性164

2.4 完备性169

3 弧长的第一变分171

3.1 曲线的变分171

3.2 第一变分公式172

3.3 第一变分公式的应用174

4 弧长的第二变分及Jacobi场175

4.1 弧长的第二变分公式175

4.2 Jacobi场177

4.3 共轭点179

5 曲率与拓扑181

5.1 曲率与Jacobi场181

5.2 Gauss曲率非正的曲面183

6 闭测地线与基本群185

6.1 闭测地线与基本群185

6.2 覆盖空间与闭测地线186

6.3 紧致闭曲面上的闭测地线188

第五章 高维欧氏空间的超曲面190

1 基本公式190

1.1 超曲面的结构方程和曲率张量190

1.2 主曲率与平均曲率193

1.3 空间形式194

2 积分公式195

2.1 Minkowski积分公式195

2.2 紧致凸超曲面197

3 球面的刚性定理198

3.1 非负Ricci曲率的紧致超曲面198

3.2 常数数量曲率的紧致超曲面199

4 极小超曲面的Bernstein型定理203

4.1 关于第二基本形式的一个估计203

4.2 稳定性不等式204

4.3 Bernstein定理的推广206

4.4 定理4.4的另一证明209

5 常平均曲率的完备超曲面212

5.1 常平均曲率图212

5.2 常平均曲率超曲面的曲率估计214

5.3 具有有限全曲率的常平均曲率超曲面219

6 平均曲率流222

6.1 平均曲率流方程222

6.2 解的短时间存在性223

6.3 度量和曲率的发展224

6.4 紧致凸超曲面的收缩226

7 平均曲率流的奇性和凸性229

7.1 平均曲率流的奇性229

7.2 平均曲率流的凸性231

7.3 关于σ2的估计232

7.4 关于初等对称函数237

7.5 定理7.4的证明238

8 关于Lawson-Simons猜想241

8.1 Lawson-Simons猜想241

8.2 作为欧氏超曲面的紧致流形242

8.3 定理8.1的证明245

8.4 一般的黎曼流形247

本章参考文献249

第六章 Finsler几何中的某些变分计算252

1 Finsler流形252

1.1 Finsler流形252

1.2 陈联络（Chern connection）255

1.3 黎曼曲率257

1.4 体积元257

1.5 畸变与S曲率259

1.6 复Finsler流形260

2 某些几何变分计算263

2.1 散度公式263

2.2 Einstein-Hilbert泛函266

2.3 调和映射269

2.3.1 第一变分270

2.3.2 第二变分与Liouville型定理271

2.4 极小浸入273

2.5 复Finsler流形间的调和映射275

2.5.1 第一变分276

2.5.2 存在性278

2.5.3 同伦不变性279

本章参考文献280

附录A 欧氏空间点集拓扑概要283

附录B 曲面的拓扑分类290

本书参考文献301

索引302