从代数基本定理到超越数 一段经典数学的奇幻之旅PDF|Epub|txt|kindle电子书版本网盘下载

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第一部分 从求解多项式方程到代数基本定理3

第一章 从自然数系到有理数系3

1.1自然数系与一元一次方程的求解3

1.2有理数与循环小数4

1.3可公度线段4

第二章 无理数与实数系6

2.1无理数和不可公度线段6

2.2黄金分割与黄金三角形7

2.3黄金矩形8

2.4兔子繁殖与黄金分割10

2.5斐波那契数列的通项公式——比奈公式10

第三章 复数系与代数基本定理13

3.1二元数与复数系13

3.2数域的概念14

3.3代数基本定理16

3.4复数域是代数闭域17

第二部分 代数基本定理的证明21

第四章 代数基本定理的定性说明21

4.1复平面中的一些圆周曲线21

4.2多项式函数及其缠绕数21

4.3缠绕数的一个重要性质22

4.4r极大与极小时的两个极端情况23

第五章 业余数学家阿尔岗的证明24

5.1考虑|p（z）|的最小值24

5.2计算|p（z0＋ζ）|等24

5.3对pζv（1＋ζε）的讨论25

5.4反证法：证明了代数基本定理25

第六章 美国数学家安凯奈的证明27

6.1复变函数论中的解析函数27

6.2柯西-黎曼定理27

6.3连续复函数的线积分29

6.4微积分学中的格林定理的回顾31

6.5柯西积分定理31

6.6安凯奈的思路32

6.7φ（z）的两个特殊线积分33

6.8两个不相等的积分34

第三部分 圆周率π和自然对数底e，及其无理性39

第七章 圆周率π及其无理性39

7.1刘徽割圆与圆周率π39

7.2 π是一个无理数40

第八章 自然对数的底e及其无理性43

8.1自然对数的底e与一些重要的公式43

8.2一些重要的应用44

8.3欧拉数e是一个无理数46

第四部分 有关多项式与扩域的一些理论51

第九章 有关多项式的一些理论51

9.1数系S上的多项式的次数与根51

9.2数系S上的可约多项式与不可约多项式51

9.3多项式的可除性质52

9.4多项式的因式、公因式与最大公因式53

9.5多项式的互素与贝祖等式54

9.6贝祖等式的一些应用以及多项式因式分解定理55

9.7高斯引理57

9.8整系数多项式的可约性性质57

9.9艾森斯坦不可约判据59

9.10多元多项式与对称多项式61

9.11初等对称多项式62

9.12对称多项式的基本定理62

9.13由对称多项式基本定理得出的一个有重要应用的定理65

9.14关于多项式根的两个重要的推论65

第十章 有关扩域的一些理论68

10.1数域的另一个例子68

10.2扩域的概念69

10.3要深入研究的一些课题70

10.4域上的代数元以及代数数71

10.5代数元的最小多项式71

10.6互素的多项式与根73

10.7代数元的次数以及代数元的共轭元73

10.8代数元域74

10.9单代数扩域75

10.10添加有限多个代数元77

10.11多次代数扩域可以用单代数扩域来实现79

第五部分 代数扩域、有限扩域以及尺规作图83

第十一章 代数扩域、有限扩域与代数元域83

11.1代数扩域83

11.2代数元集合A成域的域论证明84

11.3扩域可能有的基85

11.4有限扩域86

11.5维数公式91

11.6有限扩域的性质92

11.7代数元域是代数闭域94

第十二章 扩域理论的一个应用——尺规作图问题95

12.1尺规作图的公理与可作点95

12.2可作公理的推论96

12.3可作数与实可作数域97

12.4所有的可作数构成域98

12.5可作数扩域99

12.6可作实数域中的直线与圆的方程100

12.7尺规作图给出的新可作点100

12.8尺规可作数的域论表示101

12.9三大古典几何问题的解决102

第六部分 π以及e是超越数107

第十三章 超越数的存在与刘维尔数107

13.1再谈代数元与超越元107

13.2两个有趣的例子108

13.3无穷可数集合109

13.4有理数域Q是可数的109

13.5康托尔的对角线法：实数域R是不可数的110

13.6代数数的整数多项式定义及相应的最低次数的本原多项式111

13.7代数数域是可数的111

13.8存在超越数113

13.9刘维尔定理113

13.10刘维尔数ξ是超越数116

13.11超越数的另一例117

第十四章 π以及e是超越数120

14.1一次代数数的一般形式120

14.2二次实代数数的一般形式120

14.3 e不是二次实代数数121

14.4 e是超越数124

14.5 π是超越数127

14.6超越数的一些基本定理133

14.7超越扩域、代数扩域，以及有限扩域134

14.8尾声——希尔伯特第七问题以及盖尔方德-施奈德定理134

附录139

附录1 比奈公式以及常系数线性递推数列140

附录2 线性方程组求解简述143

参考文献147