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第一章 常数项级数1

1.1 常数项级数及其敛散性1

1.1.1 常数项级数的概念1

1.1.2 级数的收敛与发散4

1.2 级数的基本性质15

1.2.1 级数的基本性质16

1.2.2 余项25

1.3 正项级数26

1.3.1 正项级数的概念26

1.3.2 正项级数的判敛法26

1.4 变号级数39

1.4.1 交错级数39

1.4.2 一般的变号级数及绝对收敛、条件收敛41

1.5 常数项级数小结及补充46

1.5.1 各种判敛法的归纳46

1.5.2 有限项相加、乘性质对级数的适用性48

1.6 广义积分52

1.6.1 无穷限广义积分52

1.6.2 无界函数的广义积分(瑕积分)60

1.7 杂例讨论67

习题70

第二章 函数项级数72

2.1 函数项级数的一般理论72

2.1.1 函数项级数的一般概念72

2.1.2 一致收敛75

2.1.3 和函数的分析性质83

2.2 幂级数88

2.2.1 幂级数及其收敛域88

2.2.2 幂级数的内闭一致收敛性96

2.2.3 幂级数的分析性质97

2.2.4 幂级数的四则运算105

2.2.5 函数展开为幂级数107

2.2.6 一些初等函数的展开式110

2.2.7 函数的幂级数展开的应用118

2.3 傅里叶级数123

2.3.1 三角级数及三角函数系的正交性123

2.3.2 欧拉-傅里叶公式124

2.3.3 收敛定理126

2.3.4 奇(偶)函数的傅里叶级数132

2.3.5 区间[-τ,τ]上的傅里叶级数137

2.4 杂例讨论139

习题144

第三章 多元函数微分学146

3.1 多元函数分析引论146

3.1.1 预备知识——平面点集146

3.1.2 多元函数151

3.1.3 多元函数的极限157

3.1.4 多元函数的连续性165

3.2 偏导数与全微分171

3.2.1 偏导数171

3.2.2 全微分177

3.3 复合函数微分法188

3.3.1 连锁规则188

3.3.2 第一种情形的多元复合函数的偏导计算191

3.3.3 第二种情形的多元复合函数的偏导计算194

3.3.4 第三种情形的多元复合函数的偏导计算197

3.3.5 多元复合函数求偏导小结202

3.3.6 全微分形式不变性204

3.4 隐函数微分法207

3.4.1 一个方程所确定的隐函数的微分法207

3.4.2 由方程组确定的隐函数的微分法210

3.5 杂例讨论215

习题217

第四章 重积分220

4.1 二重积分的概念和性质220

4.1.1 二重积分的定义220

4.1.2 二重积分的性质229

4.2 二重积分的计算231

4.2.1 在直角坐标系中计算二重积分231

4.2.2 在极坐标系中计算二重积分251

4.3 三重积分的概念和计算267

4.3.1 三重积分的概念267

4.3.2 在直角坐标系中计算三重积分271

4.3.3 在柱面坐标系和球面坐标系中计算三重积分278

4.4 重积分的应用290

4.4.1 空间曲面的面积291

4.4.2 重心296

4.4.3 物体的转动惯量300

4.5 杂例讨论302

习题307

第五章 曲线积分与曲面积分309

5.1 曲线积分309

5.1.1 第一型曲线积分(对弧长的曲线积分)310

5.1.2 第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)320

5.1.3 第一型和第二型曲线积分的关系333

5.1.4 格林公式335

5.1.5 曲线积分与路径无关的条件343

5.2 曲面积分356

5.2.1 第一型曲面积分(对面积的曲面积分)357

5.2.2 第二型曲面积分(对坐标的曲面积分)363

5.2.3 第一型和第二型曲面积分的关系377

5.2.4 高斯公式和斯托克斯公式378

5.3 杂例讨论391

习题397

附录 习题答案400