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第一章 三维欧氏空间的曲线论1

1 曲线 曲线的切向量 弧长1

2 主法向量与从法向量 曲率与挠率6

3 Frenet标架 Frenet公式12

4 曲线在一点邻近的性质16

5 曲线论基本定理20

6 平面曲线的一些整体性质27

6.1 关于闭曲线的一些概念27

6.2 切线的旋转指标定理30

6.3 凸曲线37

6.4 等周不等式39

6.5 四顶点定理41

6.6 Cauchy-Crofton公式43

7 空间曲线的整体性质49

7.1 球面的Crofton公式49

7.2 Fenchel定理51

7.3 Fary-Milnor定理53

第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何性质57

1 曲面的表示 切向量 法向量57

1.1 曲面的定义57

1.2 切向量 切平面59

1.3 法向量61

1.4 曲面的参数变换62

1.5 例63

1.6 单参数曲面族 平面族的包络面 可展曲面68

2 曲面的第一、第二基本形式74

2.1 曲面的第一基本形式74

2.2 曲面的正交参数曲线网79

2.3 等距对应 曲面的内蕴几何学81

2.4 共形对应82

2.5 曲面的第二基本形式87

3.1 省略和式记号的约定90

3 曲面上的活动标架 曲面的基本公式90

3.2 曲面上的活动标架 曲面的基本公式92

3.3 Weingarten变换W96

3.4 曲面的共轭方向 渐近方向 渐近线97

4 曲面上的曲率99

4.1 曲面上曲线的法曲率99

4.2 主方向 主曲率102

4.3 Dupin标线103

4.4 曲率线104

4.5 主曲率及曲率线的计算 总曲率 平均曲率106

4.6 曲率线网111

4.7 曲面在一点邻近处的形状113

4.8 Gauss映照及第三基本形式115

4.9 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面118

5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理123

5.1 曲面的基本方程124

5.2 曲面论的基本定理128

6 测地曲率 测地线135

6.1 测地曲率向量 测地曲率135

6.2 计算测地曲率的Liouville公式137

6.3 测地线139

6.4 法坐标系 测地极坐标系 测地坐标系144

6.5 应用151

6.6 测地挠率156

6.7 Gauss-Bonnet公式157

7 曲面上向量的平行移动161

7.1 向量沿曲面上一条曲线的平行移动 绝对微分161

7.2 绝对微分的性质164

7.3 自平行曲线165

7.4 向量绕闭曲线一周的平行移动 总曲率的又一种表示165

7.5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系168

第三章 曲面的整体性质初步169

1 曲面的整体表述169

2 曲面上的Gauss-Bonnet公式177

3 向量场185

4 球面的刚性194

5 极小曲面197

6 完备曲面Hopf-Rinow定理204

7 微分流形 黎曼流形212

附录1 向量函数及其运算224

1 向量代数224

2 向量函数 极限226

3 向量函数的微分227

4 向量函数的积分228

附录2 欧氏空间的点集拓扑230

1 n维欧氏空间 开集 闭集230

2 连续映射233

3 连通集235

4 紧致集237

5 拓扑空间240

5.1 拓扑空间的定义240

5.2 拓扑空间中的闭集242

5.3 拓扑结构的等价性243

5.4 第二可列基公理243

5.5 Hausdorff空间243

5.6 连续映照 同胚映照244

5.7 向量空间的拓扑244

附录3 微分几何的发展简史245