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第一章 绪论1

第一节 数值分析的研究对象与特点1

第二节 数值计算的误差1

一、误差的来源与分类1

二、绝对误差与相对误差2

三、有效数字（SignificantFigure）3

四、基本运算中的误差估计3

一、病态问题与条件数4

第三节 误差定性分析与避免误差危害4

二、算法的数值稳定性5

三、避免误差危害的若干原则6

第四节 Mathematica简介8

一、Mathematica中的基本量8

二、在Mathematica中作图12

三、初等代数运算14

四、微积分16

五、线性代数18

六、数值计算方法19

评主22

习题一23

第二章 插值与拟合24

第一节 插值问题与插值多项式24

一、插值问题的提法24

二、插值多项式的存在唯一性24

第二节 拉格朗日（Lagrange）插值25

一、线性插值与二次插值25

三、Lagrange插值余项与误差估计26

二、Lagrange插值多项式26

第三节 均差与Newton插值32

一、均差（DividedDifference）及其性质32

二、Newton插值多项式34

第四节 差分及其性质35

一、差分的定义35

二、差分的性质36

三、等距节点插值公式37

一、Runge现象40

第五节 分段低次插值40

二、分段线性插值41

第六节 三次样条插值42

一、三次样条插值的概念42

二、样条插值函数的建立43

三、误差估计及收敛性46

一、曲线拟合的一般提法47

二、拟合多项式47

第七节 曲线拟合的最小二乘法47

三、线性最小二乘法的一般形式52

第八节 正交多项式54

一、内积及其性质54

二、正交函数系及正交多项式族的构造55

三、常用的正交多项式57

综合实习题60

评注63

习题二63

一、线性方程组及其一般解法66

第一节 矩阵基础知识66

第三章 线性方程组的解法66

二、矩阵特征值和谱半径68

三、常用矩阵及其性质69

第二节 高斯（Gauss）消元法70

一、Gauss顺序消元法70

二、主元素Gauss消元法73

第三节 直接三角分解法74

一、Doolittle分解法74

二、追赶法78

三、Cholesky分解与平方根法79

第四节 向量范数和矩阵范数81

一、内积与向量范数81

二、矩阵范数82

第五节 误差分析与病态方程组84

一、方程组的状态与条件数（ConditionNumber）84

二、条件数的性质85

三、病态方程组的解法87

一、迭代法的基本思想88

第六节 迭代法及其收敛性88

二、向量序列与矩阵序列的收敛性90

三、迭代法的收敛条件91

四、迭代法的误差估计（ErrorEstimate）91

第七节 Jacobi迭代法与Gauss迭代法92

一、雅可比（Jacobi）迭代法92

二、高斯—塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法95

三、松弛法97

四、Gauss-Seidel迭代法、Jacobi迭代法和SOR迭代法的收敛性99

综合实习题101

评注104

习题三105

第四章 数值微积分107

第一节 数值微分107

一、差商型数值微分107

二、插值型数值微分108

二、求积公式的代数精度110

一、插值型求积公式110

第二节 数值积分110

三、求积公式的收敛性与稳定性112

第三节 梯形公式与辛普森公式112

一、牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式112

二、复化梯形公式和复化辛普森公式116

第四节 外推原理与龙贝格公式118

一、复化梯形公式递推化与节点加密118

二、外推法龙贝格求积公式119

二、高斯—勒让德（Gauss-Legendre）求积公式122

第五节 高斯（Gauss）型求积公式122

一、最高代数精度求积公式122

三、高斯—切比雪夫（Gauss-Chebyshev）求积公式124

第六节 重积分的数值计算124

综合实习题126

评注128

习题四129

第一节 方程求根与二分法131

一、引言131

第五章 非线性方程的数值解法131

二、二分法132

第二节 迭代法及其收敛性133

一、不动点迭代法133

二、迭代法的局部收敛性与收敛阶134

第三节 牛顿迭代法136

一、Newton迭代法及其收敛性136

二、Newton下山法138

三、重根情况139

四、离散Newton法（弦截法）140

综合实习题141

评注144

习题五145

第六章 常微分方程数值解法146

第一节 引言146

第二节 简单的单步法及基本概念147

一、欧拉（Euler）方法147

三、改进的Euler法149

二、单步法的局部截断误差149

第三节 龙格—库塔（Runge-Kutta）法152

一、显式Runge-Kutta法的一般形式152

二、二阶和三阶显式R-K方法152

三、四阶R-K方法及步长的自动选择153

第四节 单步法的收敛性与稳定性156

一、单步法的收敛性156

二、稳定性157

二、阿达姆斯（Adams）显式与隐式方法159

一、线性多步法的一般公式159

第五节 线性多步法159

第六节 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值方法161

一、一阶微分方程组的数值解法161

二、高阶微分方程的数值解法163

综合实习题166

评注169

习题六169

习题参考答案171

参考文献175