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第1章 概论1

1.1 数值计算方法1

1.1.1 什么是数值计算方法1

1.1.2 数值计算方法的特点2

1.1.3 数值计算方法的常用算法3

1.1.4 数值计算方法的主要内容5

1.2 误差和有效数字5

1.2.1 误差和误差限5

1.2.2 有效数字6

1.2.3 相对误差和有效数位之间的关系7

1.2.4 近似数算术运算的误差和有效数位8

1.3 计算方法的稳定性9

1.3.1 误差的来源9

1.3.2 计算方法的稳定性11

1.4 数值计算的基本原则13

本章小结14

习题一15

2.2.1 根的分布区间16

2.2 方程根的分布区间16

2.1 引言16

第2章 方程求根16

2.2.2 确定方程根的分布区间的方法17

2.3 二分搜索法19

2.4 一般迭代法22

2.4.1 基本原理和迭代公式22

2.4.2 迭代法的收敛性24

2.4.3 迭代法的收敛速度27

2.4.4 收敛过程的加速28

2.5.1 基本思想与迭代公式29

2.5 Newton（牛顿）法29

2.5.2 Newton法的收敛性与收敛速度31

2.6 Newton迭代法的改进34

2.6.1 Newton下山法34

2.6.2 简化Newton法34

2.6.3 弦截法35

本章小结36

习题二37

3.1.2 曲线拟合方法38

3.1.1 插值方法38

第3章 插值方法与曲线拟合方法38

3.1 引言38

3.2 Lagrange（拉格朗日）插值法39

3.2.1 线性插值（两点插值或一次插值）39

3.2.2 抛物插值（三点插值或二次插值）40

3.2.3 Lagrange插值41

3.2.4 插值余项43

3.2.5 高次插值的Runge（龙格）现象45

3.3.1 Aitken（埃特金）逐次线性插值法47

3.3 逐次插值法与分段插值法47

3.3.2 分段插值法49

3.4 Newton（牛顿）插值法50

3.5 Hermite（埃尔米特）插值法55

3.5.1 Hermite插值多项式55

3.5.2 Hermite插值余项57

3.6 曲线拟合方法58

3.6.1 直线拟合法58

3.6.2 多项式曲线拟合法59

3.6.3 指数曲线拟合法61

本章小结62

习题三63

第4章 数值积分64

4.1 引言64

4.2 数值积分方法64

4.2.1 数值积分的基本思想64

4.2.2 一般求积公式65

4.2.3 求积公式的代数精度66

4.2.4 求积公式的构造方法68

4.3 Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）求积公式71

4.3.1 Newton-Cotes公式的一般形式71

4.3.2 Newton-Cotes公式的稳定性73

4.3.3 截断误差与代数精度73

4.3.4 低阶的Newton-Cotes公式74

4.4 复化求积方法76

4.4.1 复化梯形公式76

4.4.2 复化Simpson公式77

4.4.3 复化Cotes公式78

4.5 Romberg（龙贝格）积分法79

4.5.1 变步长积分法79

4.5.2 Romberg积分法81

4.6 Guass-Legendre（高斯-勒让德）求积方法84

4.6.1 Guass型求积公式84

4.6.2 Legendre多项式85

4.6.3 Guass-Legendre求积公式85

本章小结86

习题四87

第5章 常微分方程的数值解法89

5.1 引言89

5.2 Euler（欧拉）方法90

5.2.1 显式Euler格式90

5.2.2 隐式Euler格式93

5.2.3 两步Euler格式93

5.2.4 改进的Euler格式94

5.3.2 二阶Runge-Kutta格式96

5.3.1 Runge-Kutta方法的基本思想96

5.3 Runge-Kutta（龙格-库塔）方法96

5.3.3 四阶Runge-Kutta格式97

5.3.4 变步长Runge-Kutta方法101

5.4 单步法的收敛性与稳定性102

5.4.1 单步法的收敛性102

5.4.2 单步法的稳定性103

5.5 微分方程组与高阶方程的数值解法104

5.5.1 一阶常微分方程组的数值解法104

5.5.2 高阶微分方程的解法105

本章小结109

习题五109

第6章 线性方程组的数值解法110

6.1 引言110

6.2 解线性方程组的直接法110

6.2.1 Guass（高斯）消去法111

6.2.2 列主元消去法113

6.2.3 矩阵三角分解法116

6.2.4 解三对角方程组的追赶法127

6.3.1 向量范数和矩阵范数129

6.3 范数和误差分析129

6.3.2 矩阵的条件数和误差分析131

6.4 解线性方程组的迭代法132

6.4.1 Jacobi（雅可比）迭代法132

6.4.2 Guass-Seidel（高斯-赛德尔）迭代法134

6.4.3 超松弛迭代法135

6.4.4 迭代法的收敛性137

6.5 非线性方程组的数值解法138

习题六140

本章小结140

第7章 MATLAB编程基础143

7.1 MATLAB的特点143

7.2 MATLAB的基本操作144

7.3 MATLAB的变量与表达式147

7.4 MATLAB矩阵及运算150

7.4.1 矩阵的创建150

7.4.2 矩阵的修改151

7.4.3 MATLAB的矩阵运算153

7.4.4 MATLAB的阵列运算157

7.5 MATLAB字符串159

7.6.1 控制语句161

7.6 MATLAB语句161

7.6.2 输入语句163

7.6.3 输出语句163

7.6.4 辅助语句164

7.6.5 回显语句164

7.6.6 绘图语句164

7.7 M文件与M函数164

7.7.1 M文件164

7.8.1 二维数学图形绘制165

7.7.2 M函数165

7.8 数学图形的绘制165

7.8.2 数学图形属性修改166

7.8.3 绘制矩阵的图形167

7.8.4 三维数学图形绘制168

附录171

附录A 常用MATLAB程序171

附录B 部分习题参考答案188

参考文献193