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第1章　复变函数1

1.1　复数的概念1

1.2　复数的几何表示法2

1.3　复数的运算5

1.4　复变函数8

1.5　复变函数的极限13

1.6　复变函数的连续13

习题14

第2章　解析函数16

2.1　复变函数的导数16

2.2　柯西-黎曼条件17

2.3　解析函数21

2.4　解析函数与调和函数的关系23

2.5　初等解析函数26

2.6　解析函数的应用——平面场的复势31

习题36

第3章　复变函数的积分39

3.1　基本概念39

3.2　复变函数和积分40

3.3　柯西定理42

3.4　柯西积分公式45

3.5　柯西积分公式的几个推论49

习题52

第4章　解析函数的幂级数表示法55

4.1　复数项级数55

4.2　复变函数项级数57

4.3　幂级数62

4.4　解析函数的幂级数展开65

4.5　解析函数的孤立奇点76

4.6　解析函数在无穷远点的性质80

4.7　解析开拓82

4.8　应用83

习题86

第5章　留数理论及其应用89

5.1　留数的基本理论89

5.2　用留数定理计算实积分95

5.3　对数留数和辐角原理107

习题110

第6章　广义函数113

6.1　δ函数113

6.2　广义函数的引入114

6.3　广义函数的基本运算121

6.4　广义函数的傅里叶变换123

6.5　广义解127

习题127

第7章　完备正交函数系展开法129

7.1　正交性129

7.2　零函数130

7.3　完备性131

7.4　推广135

第8章　斯特姆-刘维本征值问题137

8.1　本征值问题的提法137

8.2　本征值问题的主要结论139

8.3　其他型的本征值问题149

第9章　傅里叶级数和傅里叶变换151

9.1　周期函数和傅里叶级数151

9.2　完备正交函数系153

9.3　傅里叶级数的性质156

9.4　傅里叶级数的应用163

9.5　有限区间上的函数的傅里叶级数166

9.6　复指数形式的傅里叶级数168

9.7　傅里叶展开与罗朗展开的联系169

9.8　傅里叶积分与变换170

9.9　傅里叶变换的性质173

9.10　小波变换的引荐181

9.11　三种定义式185

习题186

第10章　拉普拉斯变换189

10.1　拉普拉斯变换的概念189

10.2　基本函数的拉氏变换191

10.3　拉氏变换的性质192

10.4　拉普拉斯逆变换199

10.5　应用207

习题212

第11章　二阶线性常微分方程的级数解法214

11.1　常点邻域的级数解法214

11.2　正则奇点邻域的级数解法217

11.3　求第二个解的方法222

11.4　非正则奇点邻域的渐近解229

11.5　渐近展开和最陡下降法230

习题235

第12章　数学模型——定解问题236

12.1　引言236

12.2　数学模型的建立237

12.3　定解条件247

12.4　定解问题254

12.5　求解途径255

习题256

第13章　二阶线性偏微分方程的分类257

13.1　基本概念257

13.2　二阶线性偏微分方程的分类及标准化258

13.3　二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简262

13.4　三类方程的物理内涵264

13.5　二阶线性偏微分方程的特征266

习题266

第14章　行波法268

14.1　通解268

14.2　行波解270

14.3　达朗贝尔公式272

14.4　半无限长弦的自由振动278

14.5　两端固定的弦的自由振动281

14.6　齐次化原理（Duhamel原理）283

14.7　非线性偏微分方程284

习题285

第15章　分离变量法288

15.1　分离变量288

15.2　直角坐标系中的分离变量法290

15.3　圆柱坐标系中的分离变量法312

15.4　球坐标系中的分离变量法319

习题325

第16章　勒让德函数329

16.1　勒让德多项式的定义及表示329

16.2　勒让德多项式的性质331

16.3　第二类勒让德函数Ql（x）338

16.4　勒让德方程的本征值问题339

16.5　连带勒让德方程及其解340

16.6　球谐函数344

16.7　应用348

习题354

第17章　贝塞尔函数356

17.1　贝塞尔方程及其解356

17.2　整数阶（第一类）贝塞尔函数360

17.3　修正贝塞尔方程及其解370

17.4　球贝塞尔方程及球贝塞尔函数373

17.5　广义贝塞尔函数379

17.6　应用379

习题392

第18章　积分变换法394

18.1　傅里叶变换394

18.2　拉普拉斯变换399

18.3　傅氏正弦变换405

18.4　傅氏余弦变换406

18.5　汉克尔变换407

18.6　应用于有界区域的问题410

习题412

第19章　变分法414

19.1　基本概念414

19.2　泛函的极值415

19.3　泛函极值与数学物理问题的关系419

19.4　求泛函极值的直接方法——里茨法422

习题423

第20章　格林函数法425

20.1　格林公式425

20.2　稳态边值问题的格林函数法425

20.3　热传导问题的格林函数法430

20.4　波动问题的格林函数法432

20.5　格林函数的确定434

20.6　应用443

习题449

第21章　保角变换法451

21.1　保角变换及其基本问题451

21.2　常用的几种保角变换456

21.3　多角形的变换466

21.4　应用473

习题480

参考文献482