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第一章 多元函数的极限和连续性1

1　多元函数的概念1

1.1　平面点集1

1.2　多元函数5

2　多元函数的极限8

2.1　二重极限8

2.2　极限的运算法则11

2.3　二次极限12

3　多元函数的连续性14

3.1　连续函数14

3.2　有界闭区域上连续函数的性质16

3.3　多元初等函数的连续性17

第二章 多元函数的微分学及其应用19

1　偏导数19

1.1　偏导数19

1.2　高阶偏导数22

2　全微分26

2.1　微分中值定理26

2.2　全微分28

2.3　高阶全微分33

3　复合函数的微分法35

3.1　链锁规则35

3.2　一阶全微分形式不变性40

4　隐函数微分法44

4.1 由方程式确定的隐函数的微分法44

4.2 由方程组确定的隐函数的微分法47

4.3　Jacobi行列式的性质51

5　方向导数和梯度55

5.1　方向导数55

5.2　梯度58

6　多元微分学的几何应用60

6.1　空间曲线的切线和法平面60

6.2　曲面的切平面与法线64

7　多元函数的Taylor公式与极值问题69

7.1　多元函数的Taylor公式69

7.2　多元函数的极值问题72

7.3　条件极值问题77

第三章　重积分84

1　二重积分的概念与性质84

1.1　二重积分的概念84

1.2　二重积分的几何意义和性质87

2　二重积分的计算91

2.1　在直角坐标系下计算二重积分91

2.2　在极坐标系下计算二重积分97

2.3　二重积分的换元法102

3　三重积分110

3.1　三重积分的概念110

3.2　在直角坐标系下计算三重积分111

3.3　在柱面坐标和球面坐标下计算三重积分116

4　含参变量的积分与反常重积分124

4.1　含参变量的积分124

4.2　含参变量的反常积分129

4.3　Γ函数与B函数131

4.4　反常重积分134

第四章 第一型曲线积分与曲面积分138

1　第一型曲线积分138

1.1　第一型曲线积分的概念与性质138

1.2　第一型曲线积分的计算140

2　第一型曲面积分145

2.1　第一型曲面积分的概念与性质145

2.2　曲面面积的计算147

2.3　第一型曲面积分的计算149

3　几何形体上的积分及其应用152

3.1　几何形体上的积分概念152

3.2　几何形体上积分的性质153

3.3　几何形体上的积分应用举例154

第五章 第二型曲线积分与曲面积分164

1　第二型曲线积分164

1.1　第二型曲线积分的概念与性质164

1.2　两种曲线积分之间的关系167

1.3　第二型曲线积分的计算168

2　Green公式及其应用173

2.1　Green公式174

2.2　平面曲线积分与路径无关的条件179

3　第二型曲面积分185

3.1　第二型曲面积分的概念与性质185

3.2　第二型曲面积分的计算189

4　Gauss公式及其应用196

4.1　Gauss公式196

4.2　散度200

5　Stokes公式204

5.1　Stokes公式204

5.2　旋度207

第六章　无穷级数210

1　数项级数的概念与性质210

1.1　数项级数的概念210

1.2　数项级数的性质212

2　正项级数的敛散性214

2.1　比较判别法214

2.2　比值判别法（d'Alembert判别法）218

2.3　根值判别法（Cauchy判别法）219

2.4　积分判别法220

3　任意项级数222

3.1　Cauchy收敛准则Leibniz判别法222

3.2　绝对收敛与条件收敛225

3.3　级数的乘法运算227

4　函数项级数229

4.1　函数项级数的概念229

4.2　函数项级数的一致收敛性231

4.3　一致收敛级数的和函数的性质235

5　幂级数238

5.1　幂级数及其收敛性238

5.2　幂级数的运算241

5.3　函数展开成幂级数243

5.4　幂级数的应用举例247

6　Fourier级数251

6.1　三角函数系的正交性251

6.2　以2π为周期的函数的Fourier级数251

6.3　奇、偶函数的展开258

6.4　函数展开成正弦级数或余弦级数259

6.5　以2l为周期的函数的Fourier级数261

6.6　Fourier级数的复数形式266

第七章 常微分方程与差分方程270

1　常微分方程的基本概念270

1.1　常微分方程举例270

1.2　基本概念272

2　可分离变量的方程275

2.1 可分离变量的方程275

2.2　齐次方程278

3　一阶线性微分方程284

3.1　一阶齐次线性微分方程284

3.2　一阶非齐次线性微分方程285

3.3　Bernoulli方程288

4　全微分方程和积分因子291

4.1　全微分方程291

4.2　积分因子294

5　一阶隐方程298

5.1　参数形式的解298

5.2　方程y=f(x,y＇)300

5.3　方程x=f(y,y＇)302

6　可降阶的高阶微分方程304

6.1　方程y(n)=f(x)304

6.2　方程y＂=f(x,y＇)305

6.3　方程y＂=f(y,y＇)308

7　高阶齐次线性微分方程312

7.1　通解的结构312

7.2　通解的求法313

7.3　常系数齐次线性微分方程316

8　高阶非齐次线性微分方程324

8.1　通解的结构324

8.2　通解的求法325

8.3　二阶常系数非齐次线性微分方程328

8.4　Euler方程339

8.5　应用举例341

9　差分方程348

9.1　差分的概念和性质348

9.2　差分方程的概念351

9.3　一阶线性差分方程352

9.4　线性差分方程通解的结构356

9.5　二阶常系数线性差分方程357

习题参考答案370

参考文献396