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第一章 函数与极限1

第一节 函数1

一、函数的概念1

二、函数的几种特性3

三、初等函数4

四、分段函数6

习题1-16

第二节 极限7

一、数列的极限7

二、函数的极限8

习题1-212

第三节 极限的运算法则13

一、无穷小量13

二、无穷大量14

三、无穷小与无穷大的关系14

四、无穷小量的性质15

五、极限的运算法则16

六、两个重要极限18

习题1-322

第四节 无穷小量的比较23

习题1-424

第五节 函数的连续性与间断点25

一、函数的增量25

二、函数的连续性26

三、函数的左、右连续26

四、函数的间断点27

五、连续函数的性质及初等函数的连续性28

习题1-530

小结31

第二章 导数与微分32

第一节 导数概念32

一、变速直线运动的速度及平面曲线的切线斜率32

二、导数的定义33

三、求导举例33

四、函数的可导性与连续性之间的关系35

习题2-136

第二节 函数的和、差、积、商的求导法则36

一、可导函数的和、差的求导法则36

二、可导函数积的求导法则37

三、可导函数商的求导法则38

习题2-239

第三节 复合函数的求导法则40

习题2-342

第四节 基本初等函数的导数及初等函数的求导问题42

一、指数函数的导数42

二、反三角函数的导数43

三、初等函数的求导问题44

习题2-445

第五节 高阶导数46

习题2-547

第六节 隐函数的导数47

一、隐函数的导数47

二、对数求导法49

习题2-649

第七节 函数的微分及其应用50

一、微分的概念50

二、微分的几何意义51

三、微分的基本公式52

四、复合函数的微分53

五、利用微分作近似计算53

六、利用微分作误差估计54

习题2-756

小结56

第三章 导数的应用58

第一节 微分中值定理58

习题3-161

第二节 函数单调性与凹凸性的判别法61

一、函数单调性的判别法61

二、函数的凹凸性及其判别法64

三、曲线的渐近线67

四、函数作图67

习题3-269

第三节 函数的极值与最大、最小值70

一、函数的极值及其求法70

二、最大值与最小值问题、最优化问题73

习题3-375

第四节 洛必达法则77

一、洛必达法则77

二、其它类型的不定式79

习题3-480

小结81

第四章 不定积分82

第一节 不定积分的概念与性质82

一、原函数82

二、不定积分82

三、基本积分表83

四、不定积分的性质84

习题4-185

第二节 换元积分法85

一、第一类换元法85

二、第二类换元法88

习题4-290

第三节 分部积分法91

习题4-393

第四节 积分表的使用93

习题4-494

小结95

第五章 定积分及其应用96

第一节 定积分的概念与性质96

一、曲边梯形的面积96

二、变速直线运动的路程97

三、定积分的定义98

四、定积分的性质100

习题5-1101

第二节 定积分的计算102

一、微积分基本公式102

二、定积分的换元法105

三、定积分的分部积分法107

四、定积分的近似计算108

习题5-2111

第三节 广义积分111

一、无穷区间上的广义积分111

二、无界函数的广义积分113

三、Г—函数114

习题5-3115

第四节 定积分的应用116

一、元素法116

二、定积分在几何上的应用117

三、定积分在物理上的应用121

四、定积分在生物医学上的应用123

习题5-4124

小结125

第六章 微分方程127

第一节 微分方程的基本概念127

一、微分方程的引入127

二、微分方程的基本概念128

习题6-1128

第二节 一阶微分方程129

一、可分离变量的微分方程129

二、一阶线性微分方程130

习题6-2133

第三节 几种特殊类型的微分方程134

一、齐次方程134

二、伯努利方程134

三、可降阶的高阶微分方程135

习题6-3137

第四节 二阶常系数线性齐次微分方程137

一、二阶线性微分方程解的结构138

二、二阶常系数线性齐次微分方程138

习题6-4139

小结139

第七章 多元函数及其微分140

第一节 空间直角坐标系140

一、空间点的直角坐标140

二、空间两点间的距离141

习题7-1142

第二节 空间的曲面与曲线142

一、曲面的方程142

二、柱面144

三、空间曲线及其在坐标面上的投影145

习题7-2146

第三节 多元函数的极限及连续性147

一、多元函数的概念147

二、二元函数的定义域148

三、二元函数的几何意义149

四、二元函数的极限149

五、二元函数的连续性150

习题7-3151

第四节 偏导数151

一、偏导数的概念151

二、偏导数的几何意义152

三、高阶偏导数153

四、复合函数的偏导数153

习题7-4154

第五节 全微分及其应用155

一、全微分的概念155

二、全微分在近似计算中的应用156

习题7-5157

第六节 二元函数的极值157

一、二元函数的极值及其求法157

二、二元函数的最大值与最小值159

习题7-6160

第七节 最小二乘法及其应用160

习题7-7163

小结164

第八章 二重积分165

第一节 二重积分的概念与性质165

一、曲顶柱体的体积165

二、二重积分的几何意义167

三、二重积分的性质167

习题8-1168

第二节 二重积分的计算168

一、利用直角坐标计算二重积分168

二、利用极坐标计算二重积分172

习题8-2174

第三节 二重积分的应用175

一、利用二重积分计算曲顶柱体的体积及平面图形的面积175

二、二重积分在静力学上的应用176

习题8-3178

小结179

第九章 数学模型在生物医学中的应用181

第一节 数学模型的建立181

一、数学模型研究的内容181

二、数学模型的分类181

三、建立数学模型的一般方法182

习题9-1183

第二节 流行病学中的催化模型183

一、简单催化模型183

二、可逆催化模型185

三、两期催化模型185

习题9-2186

第三节 人口增长的数学模型187

一、马尔萨斯人口增长模型187

二、改进的人口增长模型188

三、Logistic模型的其它用途189

习题9-3190

第四节 药物作用动力学的房室模型190

一、快速静脉注射的一室模型190

二、二室模型192

三、三室模型195

习题9-4196

第五节 食者—被食者模型196

一、连续的食者—被食者模型196

二、离散的食者—被食者模型198

习题9-5199

小结199

第十章 线性代数初步200

第一节 行列式200

一、逆序数的概念200

二、n阶行列式的定义201

三、行列式的性质202

四、行列式的计算203

五、利用行列式解线性方程组205

习题10-1207

第二节 矩阵的概念和运算207

一、线性变换与矩阵207

二、矩阵的运算209

习题10-2212

第三节 逆阵213

一、线性方程组的矩阵表示213

二、逆阵的概念214

三、逆阵的求法214

习题10-3216

第四节 矩阵的初等变换及其应用217

一、矩阵的秩217

二、矩阵的初等变换218

三、利用初等变换求方阵的逆阵219

四、利用矩阵的初等变换解线性方程组219

习题10-4223

第五节 方阵的特征值与特征向量223

习题10-5226

小结226

第十一章 概率论基础228

第一节 随机事件及其概率228

一、随机事件228

二、事件间的关系及运算228

三、随机事件的概率231

习题11-1233

第二节 概率的运算性质及其应用233

一、概率的运算性质233

二、条件概率与乘法定理235

三、全概率公式与贝叶斯公式236

四、事件的独立性238

习题11-2240

第三节 随机变量及其概率分布240

一、随机变量的概念240

二、离散型随机变量的概率分布241

三、连续型随机变量的概率密度函数242

四、随机变量的分布函数243

五、五种常见的随机变量的分布245

习题11-3251

第四节 随机变量的数字特征253

一、数学期望253

二、方差256

三、标准差与变异系数259

习题11-4259

第五节 大数定理与中心极限定理260

一、大数定理260

二、中心极限定理261

小结262

实验263

实验一 计算机函数作图263

实验二 用Mathematica软件求函数极限265

实验三 导数概念 导数计算 牛顿法266

实验四 用Mathematica计算不定积分、定积分和进行数值积分268

实验五 解微分方程 一阶微分方程数值解——欧拉法269

实验六 数据拟合与曲线拟合273

附录Ⅰ 数学软件Mathematica简介275

附录Ⅱ 简明积分表283

附录Ⅲ 标准正态分布表292

附录Ⅳ 泊松分布表293

习题答案与提示295

参考文献313