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第1章 复数1

1.1 复数的定义及其四则运算1

1.1.1 复数的定义2

1.1.2 复数的四则运算3

1.2 复数的几何表示4

1.2.1 复数的三角形式4

1.2.2 复数的开方8

1.2.3 复数的指数形式9

1.2.4 共轭复数10

1.2.5 球极投影11

1.3 平面点集的复数表示12

1.3.1 平面有向曲线13

1.3.2 平面区域15

1.4 复变函数19

1.4.1 复变函数的定义19

1.4.2 复变函数的分量表示20

习题122

第2章 解析函数的微积分24

2.1 复变函数的极限和连续性24

2.1.1 复数列的极限24

2.1.2 复变函数的极限和连续性25

2.2 复变函数的导数和解析函数28

2.2.1 复变函数的导数28

2.2.2 Cauchy-Riemann方程30

2.2.3 解析函数32

2.2.4 解析函数的判定定理33

2.3 初等函数35

2.3.1 指数函数36

2.3.2 对数函数37

2.3.3 三角函数40

2.3.4 双曲函数42

2.3.5 幂函数43

2.3.6 反三角函数45

2.4 复变函数的积分46

2.4.1 复积分46

2.4.2 复变函数关于弧长的积分50

2.4.3 复积分与路径的关系53

2.5 Cauchy型积分公式56

2.5.1 Cauchy积分定理56

2.5.2 Cauchy积分公式59

2.5.3 Cauchy高阶导数公式63

2.6 调和函数67

2.6.1 调和函数与共轭调和函数67

2.6.2 极值原理和Liouville定理72

习题276

第3章 解析函数的级数理论与留数定理82

3.1 复数列的级数与幂级数82

3.1.1 复数项级数，函数项级数与幂级数82

3.1.2 幂级数的收敛圆盘84

3.1.3 幂级数的和函数86

3.2 Taylor级数87

3.2.1 Taylor级数88

3.2.2 初等函数的Taylor级数90

3.2.3 解析函数的零点92

3.3 Laurent级数96

3.3.1 Laurent级数的定义和Laurent级数定理96

3.3.2 Laurent级数的计算99

3.4 孤立奇点101

3.4.1 孤立奇点的定义与分类102

3.4.2 解析函数在孤立奇点处的极限104

3.4.3 解析函数在无穷远点的奇性109

3.5 留数定理112

3.5.1 留数112

3.5.2 留数定理115

3.5.3 函数在无穷远点的留数117

3.6 留数定理在计算实积分中的应用122

3.6.1 形如∫ 2π 0 R（cos θ， sin θ）dθ的积分122

3.6.2 形如∫＋∞ －∞ P（x）/Q（x） dx的积分124

3.6.3 形如∫＋∞ －∞ P（x）/Q（x） e iax dx的积分126

3.6.4 其他类型积分计算举例128

3.7 幅角原理与Rouche定理132

3.7.1 幅角原理132

3.7.2 Rouche定理及其应用133

习题3137

第4章 积分变换142

4.1 Fourier变换142

4.1.1 Fourier变换的定义143

4.1.2 Fourier变换的性质145

4.1.3 Fourier逆变换149

4.1.4 Dirac-Delta函数152

4.2 Laplace变换156

4.2.1 Laplace变换的定义与性质156

4.2.2 Laplace逆变换164

4.2.3 有理函数的Laplace逆变换166

4.3 积分变换在求解线性微分方程中的应用169

4.3.1 利用Laplace变换求解线性常微分方程169

4.3.2 利用Fourier变换求解微分方程171

习题4172

第5章 共形映照176

5.1 导数的几何意义与共形性176

5.1.1 曲线间的夹角和映射的伸缩率176

5.1.2 解析函数导数的几何意义181

5.1.3 共形映照183

5.2 分式线性变换186

5.2.1 扩充复平面上的圆186

5.2.2 分式线性变换及其共形性187

5.2.3 保圆性、保域性和保对称点性189

5.2.4 两个常用的分式线性变换193

5.3 初等函数的共形性195

5.3.1 幂函数195

5.3.2 指数函数与对数函数196

5.3.3 单连通区域到上半平面或单位圆盘的共形映照197

习题5201

参考文献204