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第1章 引言1

1.1 本章重点1

1.2 关于卡尔曼滤波1

1.2.1 第一个问题：什么是卡尔曼滤波器1

1.2.2 为什么被称为滤波器2

1.2.3 卡尔曼滤波的数学基础3

1.2.4 卡尔曼滤波的应用3

1.3 关于最优化估计方法4

1.3.1 最优估计理论的出现4

1.3.2 最小二乘方法6

1.3.3 不确定性的数学模型10

1.3.4 Wiener-Kolmogorov滤波器11

1.3.5 卡尔曼滤波器12

1.3.6 实现方法15

1.3.7 非线性近似19

1.3.8 真实非线性估计20

1.3.9 监视中的检测问题21

1.4 常用符号21

1.4.1 导数的“点”符号21

1.4.2 卡尔曼滤波器变量的标准符号21

1.4.3 数组维数的常用符号22

1.5 本章小结23

习题24

参考文献26

第2章 线性动态系统29

2.1 本章重点29

2.1.1 更大的示意图29

2.1.2 动态系统模型31

2.1.3 涵盖要点31

2.2 确定性动态系统模型32

2.2.1 微分方程表示的动态系统模型32

2.2.2 牛顿模型32

2.2.3 确定性系统的状态变量和状态方程35

2.2.4 连续时间和离散时间36

2.2.5 时变系统和时不变系统36

2.3 连续线性系统及其解36

2.3.1 线性动态系统的输入输出模型36

2.3.2 动态系数矩阵及输入耦合矩阵37

2.3.3 高阶导数的伴随形式37

2.3.4 输出和测量灵敏度矩阵38

2.3.5 差分方程和状态转移矩阵（STM）38

2.3.6 求解微分方程得到STM39

2.3.7 非齐次方程的解42

2.3.8 时不变系统的闭式解42

2.3.9 时变系统45

2.4 离散线性系统及其解45

2.4.1 离散线性系统45

2.4.2 时不变系统的离散时间解46

2.5 线性动态系统模型的可观测性47

2.5.1 如何确定动态系统模型是否可观测47

2.5.2 时不变系统的可观测性47

2.5.3 时不变线性系统的可控性49

2.6 本章小结50

习题52

参考文献54

第3章 概率与期望55

3.1 本章重点55

3.2 概率论基础56

3.2.1 测度论56

3.2.2 概率测度56

3.2.3 概率分布57

3.2.4 概率密度函数58

3.2.5 累积概率函数59

3.3 期望59

3.3.1 线性泛函59

3.3.2 期望算子59

3.3.3 概率分布的矩60

3.4 最小均方估计（LMSE）66

3.4.1 平方估计误差66

3.4.2 最小化66

3.4.3 最小均方估计误差67

3.4.4 均值和协方差：需要记住的矩69

3.4.5 脱靶距离的其他测量方法70

3.5 变量变换70

3.5.1 线性变换71

3.5.2 利用解析函数的变换73

3.5.3 概率密度函数的变换76

3.6 统计中的矩阵迹77

3.6.1 协方差和均方幅度之间的关系77

3.6.2 线性泛函77

3.6.3 迹中的矩阵乘积互换78

3.6.4 卡方检验79

3.6.5 Schweppe似然比检测79

3.6.6 多假设检验80

3.7 本章小结80

习题81

参考文献83

第4章 随机过程84

4.1 本章重点84

4.1.1 涵盖要点84

4.1.2 未涉及的内容85

4.2 随机变量、随机过程和随机序列85

4.2.1 历史背景85

4.2.2 定义86

4.3 统计特性86

4.3.1 独立同分布过程86

4.3.2 随机过程的均值87

4.3.3 时间相关和协方差88

4.3.4 不相关和正交随机过程89

4.3.5 严格平稳与广义平稳90

4.3.6 遍历随机过程90

4.3.7 马尔可夫过程和序列90

4.3.8 高斯随机过程91

4.3.9 模拟多变量高斯过程91

4.3.10 功率谱密度92

4.4 线性随机过程模型94

4.4.1 RP的随机微分方程95

4.4.2 随机序列（RS）的离散时间模型97

4.4.3 自回归过程和线性预测模型99

4.5 成型滤波器（SF）和状态增广99

4.5.1 相关过程噪声模型100

4.5.2 相关测量噪声模型100

4.6 均值和协方差传播103

4.6.1 均值传播103

4.6.2 协方差传播104

4.6.3 稳态解106

4.6.4 结果107

4.7 模型参数之间的关系110

4.7.1 连续模型和离散模型的参数110

4.7.2 Q（t）与Qk-1之间的关系111

4.7.3 R（t）和Rk之间的关系116

4.8 正交原理117

4.8.1 最小期望二次损失函数估计子117

4.8.2 正交原理118

4.8.3 正交的几何解释120

4.9 本章小结120

4.9.1 需要记忆的要点120

4.9.2 需要记忆的重要公式121

习题122

参考文献127

第5章 线性最优滤波器和预测器128

5.1 本章重点128

5.1.1 估计问题128

5.1.2 涵盖要点128

5.2 卡尔曼滤波器130

5.2.1 系统状态估计子的观测更新问题130

5.2.2 线性估计子130

5.2.3 求解卡尔曼增益130

5.2.4 利用高斯最大似然方法得到卡尔曼增益133

5.2.5 根据递归线性LMS估计子得到卡尔曼增益139

5.2.6 离散时间卡尔曼估计子的公式汇总143

5.2.7 将误差不相关的向量测量值视为标量147

5.2.8 利用协方差方程进行设计分析149

5.3 卡尔曼-布西滤波器149

5.4 最优线性预测器151

5.4.1 预测作为滤波151

5.4.2 考虑丢失数据的影响152

5.5 相关噪声源152

5.5.1 设备噪声与测量噪声之间的相关152

5.5.2 时间相关测量值152

5.6 卡尔曼滤波器和维纳滤波器之间的关系153

5.7 二次损失函数153

5.7.1 估计误差的二次损失函数153

5.7.2 二次损失函数的期望值154

5.7.3 无偏估计与二次损失155

5.8 矩阵Riccati微分方程155

5.8.1 转化为线性方程155

5.8.2 时不变问题157

5.8.3 标量时不变问题157

5.8.4 标量时不变解的参数依赖性160

5.8.5 收敛问题161

5.8.6 代数Riccati方程的闭式解162

5.8.7 代数Riccati微分方程的Newton-Raphson解163

5.8.8 MacFarlane-Potter-Fath特征结构方法165

5.9 离散时间矩阵Riccati方程166

5.9.1 矩阵分数传播的线性方程166

5.9.2 先验协方差的矩阵分数传播167

5.9.3 标量时不变情形的闭式解168

5.9.4 MacFarlane-Potter-Fath特征结构方法169

5.10 变换状态变量的模型方程170

5.10.1 状态变量的线性变换170

5.10.2 新的模型方程170

5.11 应用实例171

5.12 本章小结175

5.12.1 需要记忆的要点175

5.12.2 需要记忆的重要公式176

习题177

参考文献179

第6章 最优平滑器182

6.1 本章重点182

6.1.1 平滑和平滑器182

6.1.2 卡尔曼滤波、预测、插值和平滑182

6.1.3 平滑器的类型183

6.1.4 实现算法184

6.1.5 平滑器的应用184

6.1.6 与滤波相比的改善之处185

6.2 固定区间平滑187

6.2.1 连续时间性能分析187

6.2.2 三通道固定区间平滑192

6.2.3 Rauch-Tung-Striebel（RIS）两通道平滑器194

6.3 固定滞后平滑195

6.3.1 早期方法的稳定性问题195

6.3.2 性能分析196

6.3.3 Biswas-Mahalanabis固定滞后平滑器（BMFLS）197

6.4 固定点平滑205

6.4.1 性能分析205

6.4.2 离散时间固定点平滑器210

6.5 本章小结210

6.5.1 平滑210

6.5.2 平滑对滤波性能的改善211

6.5.3 其他信息资源211

习题211

参考文献213

第7章 实现方法215

7.1 本章重点215

7.1.1 涵盖要点215

7.1.2 未涉及的内容216

7.2 计算机舍入操作216

7.2.1 单位舍入误差217

7.2.2 舍入对卡尔曼滤波器性能的影响217

7.2.3 数值误差分析中的术语218

7.2.4 病态卡尔曼滤波问题220

7.3 舍入误差对卡尔曼滤波器的影响220

7.3.1 量化舍入误差对卡尔曼滤波的影响220

7.3.2 卡尔曼滤波器的舍入误差传播220

7.3.3 滤波器发散举例224

7.4 “平方根”滤波的因式分解法225

7.4.1 背景225

7.4.2 Cholesky因子的类型225

7.4.3 矩阵因式分解方法概述225

7.4.4 Cholesky分解方法及其应用227

7.4.5 利用去相关实现卡尔曼滤波器234

7.4.6 初等矩阵的对称平方根235

7.4.7 三角化方法235

7.5 “平方根”滤波器和UD滤波器243

7.5.1 Carlson-Schmidt“平方根”滤波243

7.5.2 Bierman-Thornton UD滤波器248

7.6 sigmaRho滤波253

7.6.1 Sigma和Rho254

7.6.2 基本连续时间动态模型255

7.6.3 σi的缩放258

7.6.4 离散时间sigmaRho动态模型259

7.6.5 sigmaRho测量更新262

7.6.6 有效性264

7.7 其他实现方法264

7.7.1 早期的实现方法264

7.7.2 Morf-Kailat联合观测更新/时间更新270

7.7.3 信息滤波272

7.8 本章小结274

习题275

参考文献277

第8章 非线性近似280

8.1 本章重点280

8.1.1 涵盖要点280

8.1.2 “非线性”的含义是什么282

8.2 仿射卡尔曼滤波器282

8.2.1 仿射模型282

8.2.2 非零均值噪声模型282

8.2.3 仿射滤波器实现283

8.3 非线性模型的线性近似283

8.3.1 Riccati微分方程的线性化283

8.3.2 利用数值偏导作为Φ的近似284

8.3.3 线性和扩展卡尔曼滤波器284

8.3.4 限制RMS线性化误差297

8.3.5 多局部线性化检测300

8.4 采样-传播方法303

8.4.1 性能评估303

8.4.2 蒙特卡罗分析304

8.4.3 粒子滤波器306

8.4.4 西格马点（σ点）滤波器306

8.5 无味卡尔曼滤波器（UKF）308

8.5.1 无味变换（UT）308

8.5.2 UKF实现311

8.5.3 无味sigmaRho滤波316

8.6 真正的非线性估计317

8.6.1 Benes滤波器317

8.6.2 Richardson和Marsh的监视解决方法317

8.7 本章小结318

8.7.1 本章要点318

8.7.2 非线性近似的局限性319

习题319

参考文献321

第9章 实际考虑324

9.1 本章重点324

9.1.1 涵盖要点324

9.2 诊断统计量和启发式方法324

9.2.1 新息分析325

9.2.2 收敛和发散329

9.2.3 协方差分析330

9.2.4 检验不可预测的行为330

9.2.5 模型不当产生的影响339

9.2.6 协方差矩阵的分析和纠正345

9.3 预滤波和数据剔除方法346

9.3.1 预滤波346

9.3.2 数据剔除348

9.4 卡尔曼滤波器的稳定性349

9.5 次优滤波器和降阶滤波器349

9.5.1 次优滤波器349

9.5.2 次优滤波器的双状态评估354

9.6 Schmidt-Kalman滤波357

9.6.1 历史背景357

9.6.2 推导过程358

9.6.3 Schmidt-Kalman增益360

9.6.4 实现方程362

9.6.5 计算复杂度362

9.7 存储量、吞吐量和字长需求364

9.7.1 字长问题364

9.7.2 存储需求364

9.7.3 吞吐量、处理器速度和计算复杂度367

9.7.4 编程成本与运行成本369

9.8 降低计算需求的方法369

9.8.1 降低矩阵乘积的复杂度369

9.8.2 离线与在线计算需求370

9.8.3 增益调度370

9.8.4 时不变系统的稳态增益370

9.9 误差预算和灵敏度分析373

9.9.1 满足统计性能需求的设计问题373

9.9.2 误差预算374

9.9.3 误差灵敏度分析和预算375

9.9.4 通过蒙特卡罗分析进行预算确认376

9.10 最优测量选取策略376

9.10.1 测量选取问题376

9.10.2 边际优化377

9.10.3 最大边际效益的求解算法379

9.10.4 计算复杂度379

9.11 本章小结380

习题380

参考文献381

第10章 在导航中的应用382

10.1 本章重点382

10.2 导航概述383

10.2.1 导航问题383

10.2.2 惯性导航与卫星导航的发展历史383

10.2.3 GNSS导航384

10.2.4 GNSS/INS组合导航384

10.2.5 导航性能的度量385

10.2.6 在导航系统设计中的性能预测385

10.2.7 预测导航性能的动态仿真386

10.3 全球导航卫星系统（GNSS）389

10.3.1 历史背景389

10.3.2 卫星导航的工作原理389

10.3.3 GNSS的误差源390

10.3.4 GNSS导航误差建模393

10.3.5 性能评估404

10.3.6 导航解的质量406

10.3.7 Schmidt-Kalman滤波用于残差电离层校正411

10.3.8 利用伪距差413

10.4 惯性导航系统（INS）414

10.4.1 简要背景415

10.4.2 导航解419

10.4.3 导航解的初始化420

10.4.4 INS导航误差源423

10.4.5 INS导航误差动态425

10.4.6 INS传感器补偿参数误差431

10.4.7 MATLAB实现435

10.5 GNSS/INS组合导航440

10.5.1 背景440

10.5.2 MATLAB实现446

10.6 本章小结449

习题450

参考文献451

附录A 软件452