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公共基础模块1

第1章 函数、极限与连续1

1.1 函数的概念与性质1

1.1.1 函数的概念1

1.1.2 函数的性质4

1.1.3 分段函数6

1.1.4 反函数7

习题1.18

1.2 初等函数9

1.2.1 基本初等函数9

1.2.2 复合函数13

1.2.3 初等函数15

习题1.215

1.3 由方程所确定的函数——隐函数15

1.3.1 由方程确定的隐函数15

1.3.2 由参数方程所确定的函数16

1.3.3 函数关系的建立16

习题1.317

1.4 极限18

1.4.1 极限的介绍18

1.4.2 数列的极限19

1.4.3 函数的极限19

1.4.4 极限的运算法则24

习题1.426

1.5 无穷小量和无穷大量26

1.5.1 无穷小量26

1.5.2 无穷大量27

1.5.3 无穷小量的比较28

习题1.529

1.6 两个重要极限29

1.6.1 第一重要极限：lim x→0 sin x/x=129

1.6.2 第二重要极限：lim x→∞（1+1/x）=e31

习题1.632

1.7 函数的连续性32

1.7.1 函数连续性的概念32

1.7.2 函数的间断点34

1.7.3 闭区间上连续函数的性质35

习题1.736

知识拓展 微积分的产生36

第1章 自测题A（基础层次）38

第1章 自测题B（提高层次）38

第2章 导数和微分41

2.1 导数的概念41

2.1.1 导数的定义41

2.1.2 导数的几何意义45

习题2.146

2.2 导数的计算46

2.2.1 导数的基本公式46

2.2.2 导数的四则运算法则47

2.2.3 复合函数的导数48

2.2.4 隐函数的导数49

2.2.5 由参数方程确定的函数的导数49

2.2.6 高阶导数51

习题2.252

2.3 函数的微分53

2.3.1 微分的概念53

2.3.2 微分的几何意义54

2.3.3 微分的基本公式及运算法则54

2.3.4 微分在近似计算中的应用56

习题2.357

知识拓展 利用Mathematica软件提高问题求解能力58

第2章 自测题A（基础层次）59

第2章 自测题B（提高层次）59

第3章 导数的应用60

3.1 拉格朗日中值定理60

3.1.1 拉格朗日中值定理60

3.1.2 洛必达法则62

习题3.163

3.2 函数的单调性与凹凸性64

3.2.1 函数的单调性64

3.2.2 函数的凹凸性与拐点65

习题3.266

3.3 函数的极值与函数的最值及应用66

3.3.1 函数的极值66

3.3.2 函数的最值及应用68

习题3.369

知识拓展 利用最值70

第3章 自测题A（基础层次）70

第3章 自测题B（提高层次）71

第4章 不定积分72

4.1 不定积分的概念与性质72

4.1.1 原函数与不定积分72

4.1.2 不定积分的性质73

4.1.3 不定积分的几何意义74

4.1.4 基本积分公式与直接积分法75

习题4.176

4.2 换元积分法77

4.2.1 第一类换元积分法77

4.2.2 第二类换元积分法80

习题4.282

4.3 分部积分法83

4.3.1 分部积分法83

4.3.2 分部积分公式的使用技巧84

习题4.386

知识拓展 有理函数的不定积分86

第4章 自测题A（基础层次）88

第4章 自测题B（提高层次）89

第5章 定积分及其应用92

5.1 定积分的概念与性质92

5.1.1 定积分的概念92

5.1.2 定积分的性质95

5.1.3 定积分的几何意义96

习题5.197

5.2 定积分的基本公式97

5.2.1 原函数存在定理97

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式99

习题5.2100

5.3 定积分的计算100

5.3.1 定积分直接积分法100

5.3.2 定积分换元积分法101

5.3.3 定积分分部积分法104

习题5.3105

5.4 反常积分与定积分的应用106

5.4.1 无穷区间上的反常积分106

5.4.2 微元法108

5.4.3 定积分的几何应用108

5.4.4 定积分的物理应用113

5.4.5 定积分的经济应用114

习题5.4116

知识拓展 瑕积分117

第5章 自测题A（基础层次）118

第5章 自测题B（提高层次）120

专业基础模块123

第6章 常微分方程123

6.1 微分方程的基本概念123

6.1.1 微分方程的概念123

6.1.2 微分方程的解与通解125

6.1.3 初始条件与特解126

习题6.1127

6.2 一阶微分方程128

6.2.1 可分离变量的微分方程128

6.2.2 齐次型微分方程131

6.2.3 一阶线性微分方程133

习题6.2136

6.3 微分方程的应用137

6.3.1 冷却问题137

6.3.2 衰变问题138

6.3.3 动力学问题139

6.3.4 混合溶液的数学模型139

习题6.3140

知识拓展 马尔萨斯（Malthus）模型141

第6章 自测题A（基础层次）143

第6章 自测题B（提高层次）144

第7章 矩阵145

7.1 矩阵的概念及运算145

7.1.1 矩阵的概念145

7.1.2 矩阵的运算149

习题7.1155

7.2 矩阵的初等变换与矩阵的秩156

7.2.1 矩阵的初等变换156

7.2.2 矩阵的秩161

习题7.2162

7.3 矩阵的逆162

习题7.3166

知识拓展 矩阵密码问题167

第7章 自测题A（基础层次）168

第7章 自测题B（提高层次）169

第8章 线性方程组171

8.1 线性方程组的解法171

8.1.1 消元法解线性方程组的实质171

8.1.2 线性方程组的矩阵形式172

8.1.3 线性方程组有解的充要条件172

习题8.1174

8.2 非齐次线性方程组174

习题8.2177

8.3 齐次线性方程组177

习题8.3179

知识拓展 列昂惕夫“投入—产出”模型179

第8章 自测题A（基础层次）180

第8章 自测题B（提高层次）182

第9章 概率论183

9.1 随机事件183

9.1.1 随机现象183

9.1.2 随机试验与样本空间184

9.1.3 随机事件及事件间关系185

习题9.1188

9.2 随机事件及概率188

9.2.1 随机事件的频率与概率188

9.2.2 古典概型189

9.2.3 加法公式191

习题9.2192

9.3 条件概率与全概率公式192

9.3.1 条件概率192

9.3.2 乘法公式193

9.3.3 全概率公式194

习题9.3195

9.4 事件的独立性195

9.4.1 事件的独立性195

9.4.2 伯努利（Bernoulli）试验197

习题9.4197

9.5 随机变量及其分布198

9.5.1 随机变量的概念及分类198

9.5.2 离散型随机变量及其概率分布199

9.5.3 连续型随机变量及其概率密度202

习题9.5208

9.6 随机变量的数字特征209

9.6.1 数学期望209

9.6.2 方差211

习题9.6213

知识拓展 贝叶斯决策214

第9章 自测题A（基础层次）216

第9章 自测题B（提高层次）218

第10章 数理统计初步221

10.1 总体、样本和统计量221

10.1.1 总体和样本221

10.1.2 统计量及其分布223

习题10.1225

10.2 常用统计方法225

10.2.1 参数估计225

10.2.2 假设检验228

习题10.2231

知识拓展 常用统计软件简介231

第10章 自测题A（基础层次）233

第10章 自测题B（提高层次）234

第11章 无穷级数236

11.1 常数项级数236

11.1.1 常数项级数的概念236

11.1.2 常数项级数的基本性质239

11.1.3 级数收敛的必要条件239

习题11.1240

11.2 常数项级数收敛的判别法240

11.2.1 正项级数及其收敛性判别方法240

11.2.2 交错级数及其收敛性判别方法242

11.2.3 一般项数项级数及其收敛性243

习题11.2244

11.3 幂级数244

11.3.1 幂级数及其收敛域244

11.3.2 幂级数的运算性质247

11.3.3 函数展开成幂级数249

习题11.3251

11.4 级数的应用251

习题11.4252

知识拓展 “数学中的天桥”——欧拉公式253

第11章 自测题A（基础层次）253

第11章 自测题B（提高层次）254

专业应用模块257

案例一：图形制作（多媒体专业）257

案例二：非线性交调的频率设计问题（电子类专业）270

案例三：飞行管理问题（经管类专业）274

附录A Mathematica系统使用入门279

A1.1 Mathematica系统简介279

A1.2 Mathematica系统使用入门279

A1.2.1 系统的算术运算279

A1.2.2 代数式与代数运算280

A1.2.3 变量与函数281

A1.2.4 Mathematica的绘图283

A1.3 Mathematica的微积分命令284

A1.3.1 极限命令Limit284

A1.3.2 导数与微分命令284

A1.3.3 求积分命令285

A1.4 矩阵运算与方程组求解286

A1.4.1 矩阵运算286

A1.4.2 方程组求解288

A1.5 级数与幂级数展开289

A1.6 关于求解常微分方程290

附录B 初等数学基本公式291

B1.1 乘法与因式分解公式291

B1.2 一元二次方程291

B1.3 指数公式291

B1.4 对数公式291

B1.5 绝对值和不等式292

B1.6 三角公式292

B1.6.1 同角三角函数的基本公式292

B1.6.2 两角和与两角差的三角函数公式292

B1.6.3 二倍角公式293

B1.6.4 和差化积公式293

B1.6.5 积化和差公式293

B1.6.6 三角函数的诱导公式293

B1.6.7 特殊角的三角函数值294

B1.7 数列的前n项和公式294

B1.8 排列数和组合数公式、二项式定理294

附录C 标准正态分布表296

附录D 泊松分布数值表297

附录E t分布数值表300

附录F x2分布数值表302

习题参考答案305

参考文献327