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第1章 绪论1

1.1 偏微分方程的一些基本概念1

1.2 数学物理方程的导出4

1.2.1 理想弦的横振动方程4

1.2.2 热传导方程6

1.2.3 静电场的场位方程8

1.3 定解条件和定解问题9

1.3.1 初始条件和初始问题9

1.3.2 边界条件和边值问题10

1.3.3 混合问题11

1.3.4 定解问题的适定性13

1.4 定解问题的叠加原理14

1.5 二阶线性偏微分方程的分类16

习题120

第2章 积分法和达朗贝尔公式22

2.1 积分法22

2.2 一维波动方程的达朗贝尔公式25

2.2.1 达朗贝尔公式25

2.2.2 达朗贝尔公式的物理意义26

2.2.3 达朗贝尔公式的依赖区间和影响区域27

2.3 一维非齐次波动方程的柯西问题28

2.4 三维和二维波动方程的泊松公式32

2.4.1 三维波动方程的泊松公式32

2.4.2 二维波动方程的泊松公式34

2.4.3 三维与二维波动方程的泊松公式的物理意义35

习题237

第3章 分离变量法40

3.1 齐次方程齐次边界条件的定解问题40

3.2 非齐次方程齐次边界条件的定解问题49

3.3 非齐次边界条件的处理53

3.4 周期性条件的定解问题56

3.5 固有值问题62

3.5.1 斯图姆-刘维尔问题和固有值问题的概念62

3.5.2 斯图姆-刘维尔问题的几个重要性质63

习题365

第4章 傅立叶变换法69

4.1 傅立叶积分与傅立叶变换69

4.1.1 傅立叶积分69

4.1.2 傅立叶变换及其逆变换71

4.1.3 高维傅立叶变换及其逆变换72

4.2 傅立叶变换的基本性质76

4.2.1 傅立叶变换的运算性质76

4.2.2 卷积及其性质78

4.2.3 高维傅立叶变换及其性质80

4.3 δ函数及广义傅立叶变换80

4.3.1 δ函数80

4.3.2 广义傅立叶变换83

4.4 傅立叶变换的应用84

习题486

第5章 拉普拉斯变换法88

5.1 拉普拉斯变换88

5.1.1 拉普拉斯变换的定义88

5.1.2 拉普拉斯变换的存在定理90

5.2 拉普拉斯变换的基本性质91

5.2.1 拉普拉斯变换的运算性质91

5.2.2 卷积及其性质95

5.3 拉普拉斯逆变换96

5.4 拉普拉斯变换的应用99

习题5105

第6章 格林函数法107

6.1 格林公式107

6.1.1 格林第一公式和格林第二公式107

6.1.2 基本积分公式108

6.1.3 调和函数平均值公式111

6.1.4 二维调和函数的情况112

6.2 拉普拉斯算子的格林函数113

6.2.1 格林函数的导出113

6.2.2 格林函数的定义114

6.2.3 格林函数的性质116

6.2.4 格林函数的物理意义117

6.3 几种特殊区域上的格林函数及狄里克莱问题的解117

习题6123

第7章 基本解法124

7.1 δ函数及性质124

7.1.1 δ函数的定义和物理背景124

7.1.2 δ函数的性质126

7.2 广义函数简介131

7.2.1 广义函数的概念131

7.2.2 广义函数的弱极限132

7.2.3 广义函数的导数135

7.3 Lu=0型方程的基本解137

7.3.1 椭圆型方程的基本解137

7.3.2 基本解的求法138

7.4 ut=Lu型方程的柯西问题的基本解142

7.4.1 抛物型方程的基本解142

7.4.2 抛物型方程的冲量原理145

7.4.3 一维热传导方程基本解的物理意义146

7.5 uu=Lu型方程的柯西问题的基本解147

7.5.1 双曲型方程的基本解的积分表示147

7.5.2 三维非齐次波动方程柯西问题解的积分表示151

习题7152

第8章 变分法155

8.1 泛函与变分155

8.1.1 泛函的定义155

8.1.2 变分156

8.1.3 泛函的连续156

8.1.4 泛函的变分157

8.1.5 泛函的极值157

8.2 泛函极值的必要条件及欧拉方程158

8.2.1 泛函极值的必要条件158

" 8.2.2 泛函J[y]=∫x1 x0 F（x,y,y'）dx的欧拉方程159

8.2.3 含有较高阶导数的泛函和多个变量函数的欧拉方程162

8.3 多元函数的泛函及其极值问题162

8.3.1 边界已定的变分问题162

8.3.2 无约束变分问题164

8.4 泛函的条件极值问题165

8.5 变分原理168

8.5.1 位势方程边值问题变分原理168

8.5.2 固有值问题变分原理170

8.6 里兹方法171

习题8175

第9章 贝塞尔函数178

9.1 贝塞尔方程的导出178

9.2 贝塞尔函数179

9.3 贝塞尔函数的性质184

9.3.1 母函数和积分表示184

9.3.2 微分关系和递推公式185

9.3.3 贝塞尔半阶函数189

9.3.4 贝塞尔函数渐近公式190

9.3.5 贝塞尔函数的零点和衰减振荡性190

9.4 贝塞尔方程的固有值问题191

习题9196

第10章 勒让德函数199

10.1 勒让德方程的导出199

10.2 勒让德方程求解200

10.3 勒让德多项式202

10.3.1 勒让德多项式202

10.3.2 罗巨格公式203

10.3.3 勒让德多项式的母函数204

10.3.4 勒让德多项式的递推公式205

10.4 勒让德方程的固有值问题206

10.4.1 固有值和固有函数206

10.4.2 勒让德多项式的正交性206

10.4.3 勒让德多项式的模207

10.5 应用举例209

10.6 连带勒让德多项式211

10.6.1 连带勒让德方程的解212

10.6.2 连带勒让德方程的本征值问题213

习题10213

附录215

附录Ⅰ Fourier变换简表215

附录Ⅱ Laplace变换简表217