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第1章 求极限的方法与技巧1

§1—1　函数的极限1

一、初等变换法1

二、无穷小替换法2

三、罗必达（L Hospital）法则4

四、利用泰勒（Taylor）公式6

五、利用导数的定义8

§1—2　数列的极限9

一、利用海涅（Heine）定理9

二、利用单调有界准则9

三、利用两边夹准则11

四、利用定积分的定义12

五、利用积分中值定理13

§1—3　几类典型问题14

一、极限的存在性14

二、无穷小的阶的比较15

三、极限的局部逆问题16

§2—1 函数的概念与基本性质21

一、求函数的定义域21

第2章 函数及其连续性21

二、函数符号的运用22

三、函数的基本特性23

§2—2　函数的连续性24

§2—3　函数的间断点及其类型26

§2—4　闭区间上连续函数性质的应用27

一、利用导数的定义求导数32

第3章　一元函数微分学32

§3—1　导数与微分的计算方法32

二、利用导数的运算法则求导数36

三、对数求导法37

四、高阶导数的计算38

五、微分的计算方法40

§3—2　微分中值定理及其应用42

§3—3　导数的应用45

一、求曲线的切线与法线方程46

二、讨论函数的单调性，求函数的极值47

三、判定曲线的凹凸性，求曲线的拐点49

四、描绘函数的图形50

五、求曲线的曲率、曲率半径、曲率中心51

六、确定函数的最大值与最小值52

第4章　一元函数积分学56

§4—1　不定积分法56

一、直接积分法56

二、凑微分法56

三、换元积分法57

四、分部积分法60

五、部分分式法62

§4—2　定积分的计算与典型问题的求解65

一、计算定积分的基本方法65

二、计算分段函数的定积分66

三、计算定积分的若干技巧67

四、定积分中的几类典型问题69

§4—3　广义积分的计算方法71

第5章　微分方程76

§5—1　一阶微分方程的解法76

一、可分离变量方程的解法76

二、齐次方程的解法77

三、一阶线性微分方程的解法78

四、全微分方程的解法80

一、几种可降阶的高阶微分方程的解法83

§5—2　高阶微分方程的解法83

二、高阶线性微分方程解的结构及其应用84

三、高阶常系数线性齐次微分方程的解法85

四、高阶常系数线性非齐次微分方程的解法86

五、欧拉（Euler）方程的解法88

六、线性微分方程组的解法89

§5—3　微分方程的应用89

一、利用微分方程求解函数方程89

二、利用微分方程求解几何问题91

三、利用微分方程求解物理问题92

第6章 两类典型问题的论证方法97

§6—1　不等式97

一、利用微分法证明不等式97

二、利用积分法证明不等式101

三、利用幂级数证明不等式104

§6—2　介值存在性问题的论证方法107

一、确定函数的零点（方程的根）107

二、几何问题108

三、双介值问题109

四、区间变换问题111

五、含有介值的不等式111

§6—3　构造辅助函数的三种方法113

一、参数变易法113

二、不定积分法114

三、微分方程法116

一、向量的基本运算121

§7—1　向量代数121

第7章 向量代数与空间解析几何121

二、证明恒等式或简化算式122

三、利用向量方法求解几何问题123

§7—2　空间直线与平面124

一、基本方法124

二、待定参数法124

三、平面束法126

四、向量投影法126

五、辅助平面法127

§7—3　曲面与方程128

一、典型二次曲面128

二、一般旋转曲面129

第8章 多元函数微分学132

§8—1　二元函数的极限132

一、讨论二重极限的存在性132

二、求二重极限的方法133

一、讨论二元函数的连续性、可导性与可微性的关系134

§8—2　多元函数微分法134

二、求复合函数的偏导数的方法135

三、求隐函数的偏导数的方法137

四、求高阶偏导数的方法140

五、求方向导数的方法142

§8—3　多元函数微分法的应用143

一、求曲面的切平面方程与法线方程143

二、求空间曲线的切线方程与法平面方程144

三、求二元函数极值的方法145

四、求二元函数在有界闭区域上的最大值与最小值的方法147

五、多元函数条件极值的应用147

第9章　重积分的计算方法151

§9—1　二重积分的基本计算方法151

一、利用直角坐标计算二重积分151

二、利用极坐标计算二重积分152

§9—2　三重积分的基本计算方法153

一、利用直角坐标计算三重积分153

二、利用柱面坐标计算三重积分154

三、利用球面坐标计算三重积分155

§9—3　计算重积分的几种典型技巧156

一、利用“先二后一法”计算三重积分156

二、利用重积分的对称性简化计算157

三、重积分的积分区域的剖分161

§9—4　逐次积分的计算方法163

一、主观型交换积分次序163

二、客观型交换积分次序164

三、应用型交换积分次序165

第10章 曲线积分与曲面积分170

§10—1　第一类曲线积分与第一类曲面积分170

一、第一类曲线积分的基本计算方法170

二、第一类曲面积分的基本计算方法171

三、曲线积分与曲面积分的对称性172

§10—2　第二类曲线积分173

一、利用基本公式化为定积分计算174

二、利用格林（Green）公式计算175

三、利用选择适当路径法计算176

四、曲线积分中的不等式178

§10—3　第二类曲面积分179

一、基本计算方法179

二、利用高斯（Gauss）公式计算180

三、类型转换法182

四、投影转换法183

§10—4　空间曲线上的第二类曲线积分的计算184

一、基本计算方法185

二、利用斯托克斯（Stokes）公式186

三、利用积分曲线投影法187

§10—5　梯度、散度与旋度188

一、梯度（gradient）188

二、散度（divergence）188

三、旋度（rotation）189

第11章 积分学中的各种应用问题193

§11—1　积分学在几何中的应用193

一、求平面图形的面积193

二、求空间区域的体积196

三、求曲线的弧长199

四、求曲面的面积201

§11—2　积分学在物理中的应用203

一、求物体的质量与重心203

二、求变力所做的功204

三、求转动惯量205

四、利用元素法求引力206

§12—1　常数项级数的审敛法209

第12章　无穷级数209

一、利用级数的基本性质判定级数的敛散性210

二、正项级数的审敛法211

三、一般数项级数的审敛法214

§12—2　幂级数219

一、求幂级数的收敛域220

二、求幂级数的和函数222

三、求函数的幂级数展开式224

§12—3　傅立叶（Fourier）级数225

二、将周期为2l的函数展成傅立叶级数的方法226

一、傅立叶级数的收敛定理及其应用226

三、将函数在［-l,l］上展成傅立叶级数的方法227

四、将函数在［0,l］上展成正弦级数或余弦级数的方法228

§12—4 求常数项级数之和228

一、利用级数收敛的定义求常数项级数的和228

二、利用幂级数求常数项级数的和229

三、利用傅立叶级数求常数项级数的和230

一、基本概念与重要结论234

§13—1　行列式的计算234

第13章　行列式与矩阵运算234

二、利用降阶法计算行列式235

三、利用化三角法计算行列式237

四、计算行列式的其他方法238

§13—2　矩阵运算240

一、基本概念与重要结论240

二、矩阵的运算244

三、分块矩阵的运算251

四、矩阵的秩253

第14章 n维向量空间与线性方程组259

§14—1 向量组的线性相关性259

一、基本概念与重要结论259

二、向量的运算261

三、判定向量组线性相关性的方法261

四、极大无关组与向量组的秩265

§14—2　n维向量空间267

一、基本概念与重要结论267

二、求向量在基下的坐标的方法269

三、过渡矩阵与坐标变换270

四、正交向量组与正交矩阵270

§14—3　线性方程组273

一、基本概念与重要结论273

二、利用克莱姆法则求解线性方程组275

三、利用初等行变换求解线性方程组276

四、将一个向量用一向量组线性表示的方法279

五、线性方程组的若干应用问题280

一、基本概念与重要结论287

第15章　相似矩阵与二次型287

§15—1　矩阵的特征值和特征向量287

二、矩阵的特征值与特征向量288

三、矩阵的相似对角化292

§15—2　二次型296

一、基本概念与重要结论296

二、二次型及其矩阵表示299

三、二次型的标准形300

四、正定二次型与正定矩阵304

第16章　随机事件和概率310

§16—1　随机事件及其概率310

一、基本概念与重要结论310

二、利用基本性质计算概率312

三、利用古典定义与几何定义计算概率313

§16—2　乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式314

一、基本概念与重要结论314

二、利用条件概率与乘法公式计算概率316

三、利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率317

四、利用事件的独立性计算概率319

五、利用二项概率公式计算概率320

第17章 随机变量的概率分布和数字特征323

§17—1　随机变量及其概率分布323

一、基本概念与重要结论323

二、求随机变量的分布律与分布函数329

三、利用概率分布求事件的概率329

四、求联合分布、边缘分布与条件分布332

五、求随机变量函数的概率分布335

§17—2　随机变量的数字特征与极限定理337

一、基本概念与重要结论337

二、利用性质求随机变量的期望、方差及相关系数339

三、利用分布求随机变量的期望、方差及相关系数340

四、求随机变量函数的数学期望与方差345

第18章　数理统计初步353

§18—1　随机样本与抽样分布353

一、基本概念与重要结论353

二、抽样分布的典型问题355

一、基本概念与重要结论356

§18—2　参数估计与假设检验356

二、估计量的评选标准360

三、参数估计362

四、假设检验365

第19章　数学解题策略与综合题选析370

§19—1　高等数学解题策略370

一、适时利用初等变换技巧370

二、注重借助几何直观性373

三、充分挖掘隐含条件377

四、灵活运用反证法378

五、善于捕捉辅助信息380

§19—2　数学综合考研题选析383

第20章　选择题集萃392

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学试题及其解答427

数学（一）试题427

附录427

数学（一）参考解答430

数学（二）试题434

数学（二）参考解答436

数学（三）试题…………………　441

数学（三）参考解答444

数学（四）试题449

数学（四）参考解答451

数学（一）试题455

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学试题及其解答455

数学（一）参考解答458

数学（二）试题464

数学（二）参考解答466

数学（三）试题473

数学（三）参考解答475

数学（四）试题482

数学（四）参考解答484

习题答案与提示489