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第1章 数学物理方程的导出和定解问题1

1.1数学物理方程的导出1

1.1.1弦的微小横振动1

1.1.2热传导方程4

1.1.3静电场的势方程6

1.2定解条件及定解问题7

1.2.1初始条件8

1.2.2边界条件9

1.3二阶线性偏微分方程的分类、化简及叠加原理13

1.3.1基本概念13

1.3.2分类和化简14

1.3.3线性方程的叠加原理18

习题20

第2章 行波法22

2.1一维波动方程的柯西问题22

2.2齐次化原理及非齐次方程柯西问题30

2.2.1齐次化原理30

2.2.2非齐次方程柯西问题31

2.3半无限长弦的振动33

2.4二维与三维波动方程39

2.4.1球对称情形39

2.4.2一般情况40

2.4.3二维波动方程的降维法43

2.4.4解的物理意义45

习题45

第3章 分离变量法48

3.1有界弦的自由振动48

3.1.1分离变量法48

3.1.2解的物理意义52

3.2有限长杆的热传导问题65

3.3有限区域上的拉普拉斯方程边值问题70

3.3.1矩形域上拉普拉斯方程边值问题70

3.3.2圆域上拉普拉斯方程边值问题72

3.4非齐次方程的问题75

3.4.1傅里叶级数法75

3.4.2冲量定理法79

3.4.3泊松方程的特解法80

3.5非齐次边界条件问题82

3.6施特姆-刘维尔问题87

习题89

第4章 积分变换法94

4.1傅里叶变换的概念和性质94

4.2傅里叶变换的应用98

4.2.1一维热传导方程的初值问题98

4.2.2一维波动方程的初值问题100

4.2.3二维拉普拉斯方程的边值问题101

4.3拉普拉斯变换的概念和性质103

4.4拉普拉斯变换的应用105

习题110

第5章 格林函数法111

5.1拉普拉斯方程边值问题与基本解111

5.1.1拉普拉斯方程边值问题111

5.1.2拉普拉斯方程的基本解112

5.2格林公式和调和函数的性质113

5.2.1格林公式113

5.2.2调和函数的性质114

5.3格林函数法117

5.4电像法121

习题125

第6章 贝塞尔函数126

6.1贝塞尔方程的导出与求解126

6.1.1贝塞尔方程的导出126

6.1.2贝塞尔方程的求解128

6.2贝塞尔函数的递推公式131

6.3函数展开成贝塞尔函数的级数134

6.3.1贝塞尔函数的零点134

6.3.2贝塞尔函数正交性136

6.3.3函数在贝塞尔函数系上的展开136

6.4贝塞尔函数的应用137

6.5贝塞尔函数的其他类型及渐近公式142

6.5.1第三类贝塞尔函数142

6.5.2虚宗量的贝塞尔函数142

6.5.3开尔文函数144

6.5.4贝塞尔函数的渐近公式144

习题146

第7章 勒让德多项式149

7.1勒让德方程的引入149

7.2勒让德方程的求解和勒让德多项式151

7.2.1求解勒让德方程151

7.2.2勒让德多项式152

7.3勒让德多项式的微分表达式及递推公式154

7.4函数展开成勒让德多项式的级数156

7.4.1勒让德多项式的正交性156

7.4.2勒让德多项式的应用159

7.5连带的勒让德多项式161

习题163

第8章 偏微分方程的差分方法165

8.1波动方程的差分格式168

8.2抛物型方程的差分方法170

8.2.1常系数扩散方程差分方程170

8.2.2第三类边界条件的处理173

8.2.3变系数初值问题174

8.2.4多维问题174

8.3椭圆型方程的差分方法176

8.3.1直角坐标系下的差分格式176

8.3.2极坐标系下的差分格式177

8.3.3变系数问题178

习题179

附录A线性常微分方程181

附录B傅里叶级数194

附录C变换表211

部分习题参考答案214

参考文献221