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前言1

引 言1

1应力状态2

1.1 应力张量及其不变量2

1.1.1 应力张量2

1.1.2 应力张量不变量3

1.2 应力偏张量及其不变量4

1.2.1 应力偏张量4

1.2.2 应力偏张量不变量5

1.3 应力强度6

1.4 应力空间8

1.5 应力9

1.5.1 欧拉（Euler）应力9

1.5.2 第一类Piola-Kirchhoff应力10

1.5.3 第二类Piola-Kirchhoff应力10

1.6 应力客观率11

2应变状态13

2.1 变形和应变的描述13

2.1.1 欧拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）坐标13

2.1.2 欧拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）描述14

2.1.3 变形梯度14

2.1.4 位移、位移梯度15

2.1.5 应变的描述15

2.2 应变张量及其不变量16

2.2.1 应变张量16

2.2.2 应变张量不变量17

2.3 应变偏张量及其不变量18

2.3.1 应变偏张量18

2.3.2 应变偏张量不变量19

2.4 应变强度19

2.5 应变20

2.5.1 应变的定义20

2.5.2 线元的几何21

2.5.3 工程应变22

2.5.4 格林（Green）应变23

2.5.5 阿尔芒斯（Almansi）应变25

2.5.6 对数应变26

2.6 应变之间的关系27

2.7 应变率28

2.7.1 物质导数和空间导数28

2.7.2 速度梯度张量29

3物理关系31

3.1 塑性基础31

3.1.1 概述31

3.1.1.1 塑性分析理论概况31

3.1.1.2 塑性初步31

3.1.2 梁弯曲及回弹的概念32

3.1.2.1 一般等截面直梁的纯弯曲及回弹32

3.1.2.2 矩形截面梁的纯弯曲及回弹35

3.1.3 屈服面36

3.2 屈服条件38

3.2.1 屈服条件38

3.2.2 各向同性材料的屈服条件38

3.2.2.1 特雷斯卡（Tresca）屈服条件39

3.2.2.2 米赛斯（Mises）屈服条件39

3.2.2.3 米赛斯（Mises）和特雷斯卡（Tresca）屈服条件41

3.2.2.4 斯密特（Schmidt）屈服条件42

3.2.3 其他各向同性材料的屈服条件43

3.2.3.1 杜洛克-布朗哥（Drucker Prager）屈服条件43

3.2.3.2 莫尔-库仑（Mohr-Coulomb）屈服条件43

3.2.3.3 更精确的屈服条件44

3.2.4 正交各向异性材料的屈服条件46

3.2.5 后继屈服条件的基本概念48

3.3 加载和卸载48

3.3.1 加载方式和加载准则49

3.3.2 加载准则49

3.3.2.1 强化材料的加载准则49

3.3.2.2 理想弹塑性材料的加载准则51

3.3.3 按普朗特-路埃斯（Prandtl-Reuss）流动法则的加载准则51

3.4 强化（硬化）理论52

3.4.1 强化（硬化）52

3.4.2 各向同性应变强化（硬化）理论54

3.4.2.1 各向同性应变强化（硬化）模型54

3.4.2.2 一维应力各向同性应变强化（硬化）56

3.4.2.3 二维应力各向同性应变强化（硬化）56

3.4.2.4 各向同性加工硬化58

3.4.2.5 三维应力状态各向同性应变强化（硬化）59

3.4.3 随动强化（硬化）理论59

3.4.3.1 随动强化（硬化）模型59

3.4.3.2 一维应力随动强化（硬化）60

3.4.3.3 二维应力随动强化（硬化）61

3.4.4 动态强化（硬化）理论62

3.4.5 混合强化（硬化）理论65

3.5 应力-应变关系67

3.5.1 弹性介质应力-应变的一般关系67

3.5.1.1 单向应力与应变关系67

3.5.1.2 一般应力状态下弹性应力-应变模型（广义Hooke定律）68

3.5.1.3 单向应力状态下塑性应力-应变模型69

3.5.2 形变理论-弹塑性全量应力应变关系71

3.5.2.1 形变理论一般概念71

3.5.2.2 伊留申（Illyushin）理论73

3.5.2.3 汉基（Hencky）的理论77

3.5.2.4 那达依（Nadai）理论78

3.5.3 流动理论-弹塑性增量应力应变关系79

3.5.3.1 流动理论一般概念79

3.5.3.2 加载过程中的做功81

3.5.3.3 塑性势理论82

3.5.3.4 应力与应变增量主轴方向重合判定84

3.5.3.5 列维（Levy）-米赛斯（Mises）理论84

3.5.3.6 普朗特（Prandtl）-路埃斯（Reuss）理论86

3.5.3.7 强化材料增量应力-应变关系87

3.5.3.8 Mises条件下各向同性强化材料增量应力-应变关系87

3.5.3.9 特雷斯卡屈服函数为塑性势的流动理论92

3.5.4 正交各向异性材料的流动理论92

3.5.5 流动理论与形变理论的关系93

4大变形、大转动和塑性95

4.1 大转动的基本概念95

4.1.1 非线性向量大转动95

4.1.2 转动矩阵R95

4.1.2.1 小转动的转动矩阵95

4.1.2.2 大转动的转动矩阵96

4.1.2.3 转动矩阵的指数形式99

4.1.2.4 转动矩阵的修正形式99

4.1.2.5 转动矩阵的近似形式100

4.2 复合转动100

4.3 求虚拟速度向量和四元数102

4.3.1 由转动矩阵R获得虚拟速度向量102

4.3.2 四元数和欧拉参数103

4.3.3 由转动矩阵R获得四元数104

4.4 转动矩阵增量104

4.4.1 增加和非增加的转动矩阵增量104

4.4.2 转动矩阵的导数106

4.5 三维体的旋转107

4.6 变形梯度乘法分解108

4.6.1 变α形梯度FeFp乘法分解108

4.6.2 传统焦曼率和基于FeFp分解的解法110

4.7 大变形中全应变率和算法及极分解112

4.7.1 大变形中全应变率和Hughes-Winget算法112

4.7.2 极分解（Polar Decomposition）115

4.8 中间和现时构形变形梯度乘法分解119

4.8.1 基于中间构形运用FeFp分解119

4.8.2 基于现时构形的应力更新122

5 固体和结构的变形关系124

5.1 概论124

5.1.1 概述124

5.1.2 结构理论中的基本假定125

5.1.2.1 小挠度及小应变假定125

5.1.2.2 理想次弹性材料假定125

5.1.2.3 单向应力假定126

5.1.2.4 欧拉-伯努利（Euler-Bernoulli）假定126

5.1.2.5 静力等效及圣维南（Saint-Venant）原理126

5.1.2.6 叠加原理127

5.1.2.7 拉压、弯、剪和扭耦合作用及P-△效应128

5.2 处于三维应力状态的固体的几何关系129

5.2.1 固体中任意一点的位移129

5.2.2 固体中任意一点的应变130

5.3 处于二维应力状态的固体的几何关系132

5.3.1 二维应力状态的固体中任意一点位移132

5.3.2 二维应力状态的固体中任意一点应变132

5.4 板-壳的几何关系134

5.4.1 概论134

5.4.1.1 板-壳及其应力状态134

5.4.1.2 板-壳的基本假定135

5.4.2 板-壳的位移135

5.4.3 剪切变形的影响137

5.4.3.1 考虑剪切变形影响的位移一般表达式137

5.4.3.2 引入剪切位移138

5.4.3.3 关于板中位移模式的讨论139

5.4.4 板-壳中任意一点应变140

5.4.4.1 板-壳中任意一点应变的一般表达式140

5.4.4.2 板-壳中任意一点的线性应变141

5.4.4.3 板-壳中任意一点的非线性应变141

5.4.4.4 关于板-壳中应变讨论144

5.5 空间杆的几何关系145

5.5.1 一维问题中任意一点位移145

5.5.2 直线空间杆中任意一点应变145

5.5.3 曲线元中任意一点应变146

5.5.3.1 两端不等高曲线元的几何146

5.5.3.2 曲线元微元长度148

5.5.3.3 曲线元的应变148

5.5.4 空间杆中任意一点位移149

5.5.5 空间杆中任意一点应变149

5.5.5.1 空间杆工程应变及Green应变表达式149

5.5.5.2 空间杆Almansi应变及对数应变表达式150

5.6 空间梁-柱的变形151

5.6.1 经典梁理论151

5.6.1.1 伯努利-欧拉（Bernoulli-Euler）梁理论151

5.6.1.2 铁木辛柯（Timoshenko）梁理论151

5.6.1.3 分析空间梁-柱的基本假定151

5.6.1.4 梁变形曲线的曲率及相应的符号规定152

5.6.2 空间梁-柱中任意一点位移153

5.6.2.1 轴向力作用下的位移154

5.6.2.2 弯矩作用下的位移154

5.6.2.3 剪力作用下的位移155

5.6.2.4 轴向力的二阶效应产生的位移161

5.6.2.5 薄壁杆件的基本理论164

5.6.2.6 薄壁杆件的自由扭转产生的位移165

5.6.2.7 薄壁杆件的约束扭转产生的位移167

5.6.3 空间梁-柱的位移171

5.7 伯努利-欧拉（Bernoulli-Euler）假定的修正173

5.7.1 梁截面纵向变形的分析研究174

5.7.2 转角模型及位移修正176

5.7.2.1 转角模型176

5.7.2.2 位移修正178

5.8 基于修正的伯努利-欧拉（Bernoulli-Euler）假定的梁-柱位移178

5.9 空间梁-柱的应变179

5.9.1 空间梁-柱的正应变179

5.9.1.1 空间梁-柱正应变的线性部分180

5.9.1.2 空间梁-柱正应变的非线性部分181

5.9.2 空间梁-柱的剪切应变184

5.9.2.1 空间梁-柱弯曲剪切应变的线性部分184

5.9.2.2 空间梁-柱扭转剪切应变的线性部分186

5.9.2.3 空间梁-柱弯曲剪切应变的非线性部分187

6 固体和结构的物理关系192

6.1 三维应力状态的物理关系192

6.1.1 三维应力状态的应力-应变关系和弹性矩阵192

6.1.2 三维应力状态的增量应力-应变关系和弹塑性矩阵192

6.2 二维应力状态的物理关系193

6.2.1 二维应力状态的应力-应变关系和弹性矩阵193

6.2.1.1 二维应力状态的弹性矩阵193

6.2.1.2 二维应力状态中正交异性材料的弹性矩阵194

6.2.1.3 正交异性材料的弹性矩阵194

6.2.1.4 膜材的弹性矩阵195

6.2.2 二维应力状态的增量应力-应变关系和弹塑性矩阵196

6.3 空间板壳的物理关系197

6.3.1 空间板壳的应力-应变关系和弹性矩阵197

6.3.2 空间板壳的增量应力-应变关系和弹塑性矩阵198

6.4 空间杆的物理关系198

6.4.1 空间杆的应力-应变关系和弹性矩阵198

6.4.2 空间杆的增量应力-应变关系和弹塑性矩阵199

6.5 空间梁-柱的物理关系199

6.5.1 空间梁-柱的应力-应变关系和弹性矩阵199

6.5.2 空间梁柱的增量应力-应变关系和弹塑性矩阵200

6.5.3 空间梁-柱的材料加工硬化特性参数H′的计算202

7接触和摩擦203

7.1 概论203

7.1.1 接触与摩擦的分类203

7.1.2 接触面积204

7.2 接触和摩擦理论205

7.2.1 古典和现代摩擦理论205

7.2.2 库仑（Coulomb）摩擦定律和粘着理论206

7.2.3 影响摩擦的因素208

8有限单元法基础210

8.1 有限单元法的数学基础——变分法210

8.1.1 变分法210

8.1.1.1 边值和初值问题210

8.1.1.2 泛函和变分211

8.1.2 边值问题的变分公式211

8.1.3 近似变分法213

8.1.3.1 李兹（Ritz）法213

8.1.3.2 伽辽金（Galerkin）法214

8.1.4 加权余量法215

8.1.5 标准伽辽金（Standard Galerkin，简称SG）法216

8.1.6 时间离散问题217

8.2 有限单元法的物理基础——能量原理219

8.2.1 功和能219

8.2.1.1 外力功和外力势能219

8.2.1.2 内力功和内力势能220

8.2.2 虚位移状态223

8.2.2.1 虚位移223

8.2.2.2 外力的虚功和虚势能224

8.2.2.3 内力的虚功和虚应变能225

8.2.2.4 位移变分方程225

8.2.3 虚功原理和最小总势能原理227

8.2.4 位移变分法的解法——李兹法和伽辽金法228

8.2.5 虚应力状态、余功和余能230

8.2.6 最小总余能原理232

8.3 有限元基本方程和单元刚度矩阵234

8.3.1 利用虚功原理推导有限元基本方程和单元刚度矩阵234

8.3.2 利用总势能驻值（极值）原理推导有限元基本方程和单元刚度矩阵235

8.3.3 利用卡斯提也诺定理推导有限元基本方程和单元刚度矩阵236

8.3.4 利用能量泛函变分原理推导有限元基本方程和单元刚度矩阵237

8.4 位移协调元的变分原理239

8.4.1 协调元的势能泛函及变分239

8.4.2 协调元的平衡方程240

8.5 拉格朗日（Lagrange）格式241

8.5.1 完全的拉格朗日（TL）格式241

8.5.2 更新的拉格朗日（UL格式242

8.5.3 增量形式的TL和UL公式的比较243

8.6 动力问题的有限元基本方程243

8.6.1 利用达朗贝尔（D′Alembert）原理建立运动方程244

8.6.1.1 达朗贝尔原理和动力学平衡微分方程244

8.6.1.2 基于伽辽金法的有限元动力方程244

8.6.2 利用虚位移原理建立运动方程245

8.6.2.1 基本概念245

8.6.2.2 基于虚位移原理的有限元动力方程245

8.6.3 利用哈密尔顿（Hamilton）原理建立运动方程246

8.6.3.1 基本概念246

8.6.3.2 拉格朗日方程246

9 固体和结构分析的有限单元法248

9.1 有限单元法的建模248

9.2 单元的形态和坐标系及变换248

9.2.1 单元的形状和剖分248

9.2.2 坐标系250

9.2.3 固体和结构的整体坐标系及向量定义251

9.2.3.1 整体坐标系及向量定义251

9.2.3.2 四面体单元的整体坐标252

9.2.3.3 空间三角形平面单元的整体坐标253

9.2.3.4 空间线元的整体坐标253

9.2.4 四面体单元的局部坐标系及向量定义253

9.2.4.1 四面体单元的局部和材料坐标系及向量定义253

9.2.4.2 四面体单元的体积坐标254

9.2.4.3 四面体单元局部和材料坐标系的构造及变换矩阵256

9.2.5 三角形平面单元的局部坐标系及向量定义258

9.2.5.1 三角形平面单元的局部和材料坐标系及向量定义258

9.2.5.2 三角形平面单元的面积坐标259

9.2.5.3 三角形平面单元局部和材料坐标系的构造及变换矩阵261

9.2.6 空间杆单元的局部坐标系及向量定义263

9.2.6.1 空间杆单元的局部坐标系及向量定义263

9.2.6.2 空间杆单元局部坐标系的构造及变换矩阵263

9.2.7 空间梁-柱单元的局部坐标系及向量定义263

9.2.7.1 空间梁-柱单元的局部和材料坐标系及向量定义263

9.2.7.2 空间梁-柱单元局部和材料坐标系的构造及变换矩阵264

9.2.8 固体及结构的斜边界坐标系266

9.2.9 向量变换267

9.3 位移插值函数268

9.3.1 选择位移函数的准则268

9.3.2 位移插值函数及其基（形）函数270

9.3.3 Laglange偏插值函数及Hermite插值函数271

9.4 单元形函数的微分273

9.4.1 函数微分之间的变换273

9.4.2 体积微元、面积微元的变换275

9.4.3 四面体和三角形单元形函数的微分276

9.5 单元的几何关系277

9.5.1 单元的位移函数277

9.5.2 单元的应变278

9.5.2.1 应变矩阵278

9.5.2.2 应变的变分279

9.6 静、动力问题的有限元基本方程280

9.6.1 固体和结构中单元的虚功方程280

9.6.2 局部坐标系中单元有限元方程281

9.6.3 局部坐标系中单元动力有限元方程282

9.6.4 局部坐标系中单元刚度矩阵283

9.6.5 整体坐标系中单元有限元方程及刚度矩阵和荷载284

9.6.6 节点自由度及自由度凝聚285

9.7 刚度矩阵的计算286

9.7.1 自然坐标系下空间四面体单元的数值积分286

9.7.2 自然坐标系下三角形单元的数值积分289

9.7.3 四面体单元外法线向量290

9.7.4 空间梁-柱单元的数值积分294

9.8 系统有限元基本方程及总刚度矩阵294

9.8.1 系统有限元基本方程294

9.8.2 总刚度矩阵的集成295

9.8.3 刚度矩阵的特点和物理意义297

9.9 边界条件297

9.9.1 弹性约束297

9.9.2 强迫位移297

9.9.3 斜边界298

9.9.3.1 斜边界的基本概念298

9.9.3.2 壳体的斜边界301

9.10 结构病态302

9.10.1 问题的病态和良态302

9.10.2 病态问题的病态度及其度量303

9.10.3 结构病态304

9.11 单元的应力和内力305

10三维和二维应力问题的有限单元法307

10.1 三维应力单元307

10.1.1 三维Lagrange四面体和六面体单元307

10.1.2 三维线性Lagrange四面体单元的向量定义308

10.1.3 三维二次Lagrange四面体单元的向量定义310

10.1.4 四面体单元的向量变换312

10.1.4.1 四面体单元的向量在材料坐标系与局部坐标系之间的变换312

10.1.4.2 四面体单元的向量在局部坐标系与整体坐标系之间的变换312

10.1.4.3 四面体单元节点在局部坐标系中的坐标313

10.1.5 三维Lagrange六面体单元313

10.2 三维Lagrange四面体和六面体单元的位移插值函数314

10.2.1 三维线性Lagrange位移插值函数314

10.2.2 三维二次Lagrange位移插值函数316

10.2.3 三维三次Lagrange位移插值函数316

10.2.4 三维偏线性Lagrange位移插值函数317

10.3 三维应力单元的应变矩阵319

10.3.1 三维应力单元的应变319

10.3.2 4节点四面体单元的线性应变矩阵320

10.3.3 4节点四面体单元的非线性应变矩阵321

10.4 4节点四面体单元刚度矩阵323

10.4.1 局部坐标系中4节点四面体单元的线性刚度矩阵323

10.4.2 局部坐标系中4节点四面体单元的初应力刚度矩阵324

10.4.3 整体坐标系中4节点四面体单元的刚度矩阵325

10.4.4 4节点四面体单元的质量矩阵325

10.4.5 4节点四面体单元的荷载移置325

10.5 四面体单元的内力325

10.5.1 4节点四面体单元的内力325

10.5.2 4节点四面体单元的等效节点力向量326

10.6 二维应力单元326

10.6.1 二维Lagrange三角形和矩形单元326

10.6.2 二维线性Lagrange三角形单元的向量定义327

10.6.3 二维二次Lagrange三角形单元的向量定义329

10.6.4 三角形单元的向量变换332

10.6.4.1 三角形单元的向量在材料坐标系与局部坐标系之间的变换332

10.6.4.2 三角形单元的向量在局部坐标系与整体坐标系之间的变换332

10.6.4.3 三角形单元节点在局部坐标系中的坐标332

10.6.5 二维偏线性Lagrange矩形单元333

10.7 二维Lagrange三角形和矩形单元的位移插值函数334

10.7.1 二维线性Lagrange位移插值函数334

10.7.2 二维二次Lagrange位移插值函数335

10.7.3 二维偏线性Lagrange位移插值函数335

10.8 二维应力单元的应变矩阵338

10.8.1 二维应力单元的应变338

10.8.2 3节点三角形单元的线性应变矩阵338

10.8.3 3节点三角形单元的非线性应变矩阵339

10.9 3节点三角形单元刚度矩阵341

10.9.1 局部坐标系中3节点三角形单元的线性刚度矩阵341

10.9.2 局部坐标系中3节点三角形单元的初应力刚度矩阵341

10.9.3 局部坐标系中3节点三角形膜单元的刚度矩阵342

10.9.4 整体坐标系中3节点三角形单元的刚度矩阵342

10.9.5 3节点三角形单元的质量矩阵342

10.10 二维应力单元的节点力343

10.10.1 3节点三角形单元的等效节点力343

10.10.2 3节点三角形单元等效温变节点力向量344

10.10.3 3节点三角形单元的不平衡力345

10.11 二维应力单元的应力345

10.11.1 3节点三角形单元的弹性应力345

10.11.2 3节点三角形单元的温变应力346

11板壳的有限单元法347

11.1 板壳单元347

11.1.1 二维Hermite板壳单元347

11.1.2 空间三角形板壳单元的向量定义348

11.1.2.1 二维三角形平板单元的向量定义348

11.1.2.2 二维三角形壳单元的向量定义350

11.1.3 空间三角形板壳单元的向量变换351

11.1.3.1 空间三角形板壳单元的材料坐标系与局部坐标系之间的向量变换351

11.1.3.2 空间三角形板壳单元的局部坐标系与整体坐标系之间的向量变换352

11.1.3.3 空间三角形板壳单元内插点法向坐标系与局部坐标系之间的向量变换354

11.2 空间板壳单元的位移插值函数356

11.2.1 协调板元357

11.2.2 二维不完全三次Hermite位移插值函数357

11.2.2.1 非协调板元357

11.2.2.2 采用面积坐标的插值函数358

11.2.2.3 非协调板壳元360

11.2.3 Mindlin板单元361

11.2.4 基于离散Kirchhoff理论（DKT）的二维Lagrange位移插值函数362

11.2.4.1 DKT板元362

11.2.4.2 DKT板壳元367

11.3 空间板壳单元的应变矩阵368

11.3.1 空间板壳单元的应变368

11.3.2 空间板壳单元的线性应变矩阵371

11.3.3 空间板壳单元的非线性应变矩阵373

11.4 空间板壳单元刚度矩阵375

11.4.1 局部坐标系中空间板壳单元的线性刚度矩阵375

11.4.2 局部坐标系中空间板壳单元的初应力刚度矩阵377

11.4.3 局部坐标系中空间板壳单元的质量矩阵377

11.4.4 整体坐标系中空间板壳单元的刚度矩阵377

11.4.5 荷载的移置378

11.5 空间板壳单元的应力和内力378

11.5.1 空间板壳单元的不平衡力378

11.5.2 空间板壳单元的应力379

12空间杆的有限单元法380

12.1 空间杆单元380

12.1.1 一维Lagrange空间杆单元380

12.1.2 空间杆单元的向量定义及变换380

12.1.2.1 整体坐标系中单元位移向量和节点力向量380

12.1.2.2 局部坐标系中单元位移向量和节点力向量381

12.1.2.3 空间杆单元的局部坐标系与整体坐标系之间的向量变换382

12.2 空间直线杆单元的几何关系382

12.2.1 空间直线杆单元位移的一维线性Lagrange插值函数382

12.2.2 空间直线杆单元的应变矩阵383

12.3 空间直线杆单元刚度矩阵384

12.3.1 局部坐标系中空间直线杆单元的线性刚度矩阵384

12.3.2 局部坐标系中空间直线杆单元的初应力刚度矩阵384

12.3.3 整体坐标系中空间直线杆单元的刚度矩阵384

12.3.4 空间直线杆单元的质量矩阵385

12.4 空间直线杆单元的内力386

12.4.1 空间直线杆单元的不平衡力386

12.4.2 空间直线杆单元的内力386

12.5 空间曲线杆单元387

12.5.1 空间曲线杆单元的向量定义及变换387

12.5.2 局部坐标系中曲线杆单元位移向量和节点力向量388

12.5.3 空间曲线杆单元的局部坐标系与整体坐标系之间的向量变换388

12.6 空间曲线杆单元的几何关系388

12.6.1 空间曲线杆单元位移的一维线性Lagrange插值函数388

12.6.2 空间曲线杆单元的应变矩阵及其变分389

12.6.2.1 空间曲线杆单元的应变矩阵389

12.6.2.2 空间曲线杆单元应变的变分390

12.6.3 局部坐标系中空间曲线杆单元的线性刚度矩阵391

12.6.4 局部坐标系中空间曲线杆单元的初应力刚度矩阵392

12.6.5 整体坐标系中空间曲线杆单元的刚度矩阵392

12.6.6 空间曲线杆单元的初应力向量与不平衡力向量393

12.7 只拉杆单元393

12.8 一维三次Hermite空间直线杆单元394

13空间梁-柱的有限单元法395

13.1 空间梁-柱单元395

13.1.1 一维三次Hermite空间梁单元395

13.1.2 空间梁-柱单元的向量定义395

13.1.2.1 整体坐标系中单元位移向量和节点力向量395

13.1.2.2 局部坐标系中单元位移向量和节点力向量398

13.1.2.3 材料坐标系中单元位移向量和节点力向量400

13.1.3 空间梁-柱单元主、从节点局部坐标系及向量定义403

13.1.4 空间梁-柱单元的向量变换404

13.1.4.1 空间梁-柱单元的材料坐标系与局部坐标系之间的向量变换404

13.1.4.2 空间梁-柱单元的局部坐标系与整体坐标系之间的向量变换405

13.1.4.3 空间梁-柱单元主、从节点向量的变换406

13.2 空间梁-柱单元的几何关系410

13.2.1 空间梁-柱单元的位移插值函数410

13.2.1.1 一维三次Hermite插值函数410

13.2.1.2 空间梁-柱单元的位移插值函数411

13.2.1.3 薄壁空间梁-柱单元的位移插值函数413

13.2.2 空间梁-柱单元的应变矩阵414

13.2.2.1 2节点6自由度空间梁-柱单元的应变矩阵414

13.2.2.2 2节点8自由度薄壁空间梁-柱单元的应变矩阵416

13.2.2.3 2节点10自由度薄壁空间梁-柱单元的应变矩阵419

13.2.2.4 薄壁空间梁-柱单元的扭转剪切应变矩阵423

13.3 空间梁-柱单元刚度矩阵424

13.3.1 局部坐标系中空间梁-柱单元的线性刚度矩阵424

13.3.1.1 2节点6自由度空间梁-柱单元的线性刚度矩阵425

13.3.1.2 2节点8自由度薄壁空间梁-柱单元的线性刚度矩阵427

13.3.1.3 2节点10自由度薄壁空间梁-柱单元的线性刚度矩阵428

13.3.2 局部坐标系中空间梁-柱单元的初应力刚度矩阵430

13.3.2.1 2节点6自由度空间梁-柱单元的初应力刚度矩阵430

13.3.2.2 2节点8自由度薄壁空间梁-柱单元的初应力刚度矩阵433

13.3.2.3 2节点10自由度薄壁空间梁-柱单元的初应力刚度矩阵434

13.3.3 整体坐标系中空间梁-柱单元的刚度矩阵435

13.3.4 荷载的移置436

13.3.5 局部坐标系中空间梁-柱单元的质量矩阵436

13.3.6 局部坐标系中空间梁-柱单元温度变化、初应变的等效荷载438

13.4 空间梁-柱单元的应力和内力439

13.4.1 空间梁-柱单元的不平衡力439

13.4.2 空间梁-柱单元的应力439

13.4.3 空间梁-柱单元的内力442

13.5 空间梁-柱分析模型的讨论445

14 自锁446

14.1 自锁概述446

14.2 剪力自锁446

14.2.1 Timoshenko梁单元446

14.2.1.1 线性Timoshenko梁单元和缩减积分形式447

14.2.1.2 二次Timoshenko梁单元448

14.2.2 Mindlin板单元449

14.2.2.1 板的自锁现象449

14.2.2.2 线性Mindlin板单元和缩减积分形式450

14.2.3 实体单元452

14.3 薄膜力自锁和不可压缩自锁453

14.3.1 经典曲线薄梁单元和薄膜力自锁453

14.3.2 Mindlin曲梁单元和薄膜力自锁455

14.3.3 不可压缩自锁456

14.3.3.1 一维不可压缩空心球体456

14.3.3.2 不可压缩三维实体458

14.4 防止自锁的方法458

14.4.1 选择性缩减积分技术458

14.4.2 “B-Bar”方法459

14.4.3 控制沙漏的缩减积分技术460

15有限单元法的实施461

15.1 总刚矩阵和方程组求解中的图及其算法461

15.1.1 图的基本概念和算法461

15.1.2 有限元分析中的图463

15.1.3 减小带宽的重排序464

15.1.4 减小填充率的重排序465

15.1.5 对称高斯消去法中的图465

15.1.6 最小度467

15.1.7 嵌套剖分468

15.2 总刚度矩阵的一维变带宽紧密储存469

15.3 有限元线性代数方程组的求解470

15.3.1 算法的数值稳定性470

15.3.2 因子分解法471

15.3.3 Cholesky（平方根）法473

15.3.4 三重因子分解法473

15.3.5 减少长操作的方法474

15.3.6 剔除了与零元素相乘的三重因子分解法476

15.3.7 大型线性方程组的分块解法478

15.4 广义特征值问题479

15.4.1 概述479

15.4.2 特征向量的性质480

15.4.3 广义特征问题和标准特征问题之间的变换482

15.4.4 移位483

15.4.5 零质量484

15.4.6 矩阵收缩和Gram-Schmidt正交化484

15.4.7 Sturm序列性质487

15.5 特征问题的解法487

15.5.1 Rayleigh-Ritz法487

15.5.2 静力凝聚489

15.5.3 逆迭代法492

15.5.4 广义雅可比（Jacobi）法493

15.6 大型特征问题的解法497

15.6.1 行列式搜索法497

15.6.2 子空间迭代法499

15.6.3 兰索斯（Lanczos）法501

15.7 快速有限元（FFE）概述502

15.8 快速有限元中大型稀疏矩阵的数据结构504

15.8.1 Coordinate储存504

15.8.2 列（行）压缩储存505

15.8.3 分块列（行）压缩储存505

15.9 快速有限元直接求解506

15.9.1 快速有限元直接求解过程506

15.9.2 数值分解507

15.9.2.1 基本分解算法507

15.9.2.2 改进的分解算法507

15.10 快速有限元迭代求解508

15.10.1 概述508

15.10.2 预条件共轭梯度（PCG）迭代法508

15.10.2.1 基本的共轭梯度迭代法508

15.10.2.2 预条件共轭梯度迭代算法509

15.10.3 预条件技术510

15.10.3.1 概述510

15.10.3.2 不完全Cholesky分解预条件器510

15.10.4 多重网格预条件器513

15.10.5 终止迭代513

16固体和结构几何非线性分析515

16.1 非线性方程及解法515

16.1.1 荷载增量法515

16.1.2 荷载增量法的一般过程515

16.1.3 平衡路线517

16.2 牛顿法518

16.2.1 牛顿-拉斐逊（Newton-Raphson）法518

16.2.2 修正的牛顿-拉斐逊法521

16.2.3 修正的牛顿-拉斐逊法的加速迭代522

16.2.4 发散处理523

16.2.5 BFGS法524

16.2.6 纯粹增量近似与牛顿-拉斐逊近似的关系526

16.3 Riks法（弧长法）527

16.3.1 弧长法的概念及方法528

16.3.2 球面弧长法530

16.3.3 增量迭代型球面显式弧长法进行几何非线性分析过程532

16.3.4 球面显式弧长法中增量长度S的确定及软化曲线法534

16.3.5 改进的弧长法535

16.4 松弛分析535

16.5 屈曲分析536

16.6 算例537

17 固体和结构材料非线性分析539

17.1 固体和结构弹塑性分析一般过程539

17.1.1 弹塑性分析一般过程539

17.1.2 弹塑性有限元中的本构分析541

17.1.2.1 过渡阶段的折算弹塑性矩阵541

17.1.2.2 硬化性能参数H′的计算542

17.2 应力更新543

17.2.1 应力更新的方案543

17.2.2 集成应变率方程544

17.2.3 贯穿屈服面和返回到屈服面545

17.2.4 分离出偏部分548

17.3 Euler公式549

17.3.1 基本Euler公式549

17.3.2 后Euler返回算法550

17.3.2.1 返回算法550

17.3.2.2 两相交屈服面的后Euler公式的返回算法551

17.3.2.3 Mohr-Coulomb屈服函数的后Euler公式的返回算法552

17.3.2.4 单向量返回和双向量返回553

17.3.2.5 角点或顶点返回554

17.3.3 径向返回算法555

17.4 一致切线模量矩阵556

17.4.1 径向返回的一致切线模量矩阵556

17.4.2 一般形式的一致切线模量矩阵557

17.5 弹塑性分析中应修正基本假定558

18固体和结构动力分析559

18.1 振型叠加法解运动方程559

18.1.1 振型叠加法559

18.1.2 忽略阻尼的分析560

18.1.3 有阻尼分析561

18.2 直接积分法解运动方程562

18.2.1 Wilson-θ法562

18.2.2 Newmark法566

19 固体和结构中接触和摩擦的分析569

19.1 概述569

19.2 二维接触问题的罚方法569

19.2.1 引言569

19.2.2 切向自由（无摩擦）的法向接触问题570

19.2.3 减小接触力跳跃的修正572

19.2.4 切向粘性摩擦的法向接触问题573

19.2.5 Coulomb滑移摩擦574

19.3 三维接触问题的罚方法576

19.3.1 切向无摩擦的法向接触问题576

19.3.2 切向初应力刚度矩阵578

19.3.3 考虑滑移摩擦579

19.3.4 考虑Coulomb滑移摩擦582

19.3.5 避免刚度的突然改变583

19.3.6 求解过程的扩展584

19.4 Lagrange乘子法585

19.4.1 概述585

19.4.2 增量Lagrange法586

19.4.3 有Coulomb滑移摩擦的Lagrange法588

20 固体和结构中的几何位移分析590

20.1 概述590

20.1.1 几何软化和现象590

20.1.2 广义失稳问题590

20.1.3 结构和机构590

20.1.4 结构松弛和松弛结构591

20.1.5 弹性位移和几何位移591

20.1.6 临界平衡状态592

20.2 结构体系的平衡和协调592

20.2.1 体系节点的平衡方程和平衡矩阵592

20.2.2 体系的协调方程和协调矩阵593

20.2.3 几何方程593

20.2.4 物理方程594

20.2.5 杆系结构平衡方程、协调方程和物理方程594

20.2.6 梁的平衡方程、协调方程595

20.2.6.1 整体坐标系下平面梁的平衡方程、协调方程595

20.2.6.2 整体坐标系下空间梁的协调方程和平衡方程596

20.2.7 采用力的平衡方法分析结构598

20.3 几何体系中几何位移的正交原理和分析方法599

20.3.1 几何位移的求解599

20.3.2 体系的控制方程599

20.3.3 平衡方程600

20.3.4 耦合方程及临界平衡方程600

20.3.5 正交原理和几何体系的不平衡方程600

20.3.6 几何体系的协调方程601

20.4 几何体系控制方程的求解601

20.4.1 几何位移向量的构造601

20.4.2 方程的求解602

20.4.3 定解约束条件602

20.4.4 迭代中的条件判断603

20.4.5 初始条件603

20.4.6 体系几何位移计算604

20.4.7 几何应力606

20.5 几何体系分析606

20.5.1 降落伞的下降模拟606

20.5.2 钟摆608

20.5.3 强迫位移612

20.5.4 松弛分析612

20.5.5 单元伸缩612

21 随动有限元法614

21.1 随动描述基本理论614

21.1.1 随动有限元法的起源和发展614

21.1.2 空间向量的刚体转动616

21.1.2.1 转动矩阵616

21.1.2.2 转动矩阵的自然对数形式617

21.1.2.3 通过转动矩阵近似获得转角虚向量618

21.1.2.4 转动矩阵与坐标转换矩阵之间的关系618

21.1.2.5 变形转动618

21.1.2.6 空间向量的连续转动620

21.2 转动矩阵的变分620

21.2.1 转动矩阵的变分形式620

21.2.2 坐标转换矩阵的变分621

21.2.3 可叠加转角虚向量与其不可叠加形式之间变分关系621

21.3 随动描述中的运动学622

21.3.1 随动坐标描述中的构形622

21.3.2 坐标系622

21.3.3 变形位移623

21.3.4 随动坐标描述中的变分623

21.3.4.1 转动矩阵及转角的变分623

21.3.4.2 位移变分624

21.4 杆单元的随动有限元方程624

21.4.1 平面杆单元随动有限元方程624

21.4.2 三维杆单元随动有限元方程627

21.5 梁单元的随动有限元方程629

21.6 随动有限元方程630

21.6.1 壳单元随动有限元方程630

21.6.2 薄壁杆件翘曲自由度的引入632

21.7 Γ矩阵的推导633

21.7.1 梁单元Γ矩阵633

21.7.2 壳单元Γ矩阵635

21.7.2.1 一般方法635

21.7.2.2 节点位移的极小值法636

21.7.2.3 中心转动置零法637

21.8 随动有限元法在动力学问题中的应用638

21.8.1 动力学中的数值方法概述638

21.8.1.1 直接积分法639

21.8.1.2 中心差分法639

21.8.1.3 Wilson-θ法640

21.8.1.4 Newmark法642

21.8.2 预测-校正隐式求解算法643

21.8.2.1 预测步644

21.8.2.2 校正步645

21.8.2.3 直接积分法的稳定性和精度分析645

21.8.3 随动梁单元和壳单元的动力分析646

21.8.3.1 动力平衡方程646

21.8.3.2 惯性项646

21.8.3.3 内力矩阵646

21.8.3.4 阻尼矩阵646

21.8.3.5 非线性求解646

参考文献647