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第1章 复数与复变函数1

1.1 复数运算及其表示1

1.1.1 复数的概念及其代数运算1

1.1.2 复平面与复数的表示方法2

1.1.3 复数的乘幂与方根6

1.1.4 复球面与无穷远点9

1.2 平面点集的复数表示11

1.2.1 平面点集的一般概念11

1.2.2 复平面上的曲线方程12

1.2.3 简单曲线与区域的连通性14

1.3 复变函数15

1.3.1 复变函数的概念15

1.3.2 复变函数的几何意义16

1.4 复变函数的极限与连续18

1.4.1 复变函数的极限18

1.4.2 复变函数的连续性20

阅读材料1 数学巨星——欧拉21

习题123

参考答案与提示25

第2章 解析函数27

2.1 复变函数的导数27

2.1.1 复变函数的导数与微分27

2.1.2 函数在一点可导（微）的一个充要条件29

2.2 解析函数32

2.2.1 解析函数的概念32

2.2.2 函数在区域内解析的充要条件32

2.2.3 解析函数实部与虚部的几何特征34

2.2.4 解析函数的运算律34

2.3 调和函数36

2.3.1 调和函数的概念36

2.3.2 解析函数与调和函数的关系37

2.3.3 利用解析函数的导数求调和函数的稳定点（驻点）40

2.4 初等函数40

2.4.1 指数函数41

2.4.2 对数函数42

2.4.3 幂函数44

2.4.4 三角函数46

2.4.5 反三角函数48

2.4.6 双曲函数与反双曲函数49

阅读材料2 最富有创造性的数学家——黎曼50

习题251

参考答案与提示52

第3章 解析函数的积分表示54

3.1 复变函数积分的概念54

3.1.1 复积分的定义54

3.1.2 复积分的基本性质55

3.1.3 复积分存在的条件及其基本计算法56

3.2 柯西积分定理59

3.2.1 柯西积分定理60

3.2.2 柯西积分定理的推广60

3.2.3 多连通区域上的柯西积分定理（复合闭路定理）61

3.3 解析函数的原函数63

3.4 柯西积分公式与高阶导数公式66

3.4.1 柯西积分公式66

3.4.2 解析函数的高阶导数69

阅读材料3 数学分析的奠基人——柯西73

习题375

参考答案与提示77

第4章 解析函数的级数表示79

4.1 复数项级数79

4.1.1 复数列的极限79

4.1.2 复数项级数收敛性及其判别法80

4.1.3 复数项级数的绝对收敛与条件收敛81

4.2 幂级数和泰勒定理82

4.2.1 复变函数项级数82

4.2.2 幂级数的概念83

4.2.3 幂级数收敛域的结构85

4.2.4 幂级数？Cnzn收敛半径的求法86

4.2.5 幂级数的性质88

4.2.6 解析函数的泰勒定理89

4.2.7 一些初等函数的泰勒展开式92

4.3 洛朗级数95

4.3.1 双边级数95

4.3.2 洛朗定理97

4.3.3 函数展开成洛朗级数的方法99

4.4 孤立奇点103

4.4.1 孤立奇点的定义及分类103

4.4.2 孤立奇点的判别方法104

4.4.3 无穷远点的情况112

阅读材料4 分析学严谨论证的开拓者——魏尔斯特拉斯114

习题4116

参考答案与提示118

第5章 留数定理及其应用121

5.1 留数121

5.1.1 留数定义及留数定理121

5.1.2 留数的计算方法123

5.1.3 函数在无穷远点处的留数127

5.2 留数在计算定积分上的应用132

5.2.1 三角函数有理函数的积分计算132

5.2.2 有理函数的无穷积分计算134

5.2.3 含有三角函数的无穷积分的计算136

5.2.4 实轴上带有奇点的积分计算139

5.3 对数留数与辐角原理141

5.3.1 对数留数141

5.3.2 辐角原理143

5.3.3 儒歇定理144

阅读材料5 复变函数论的建立简述146

习题5149

参考答案与提示150

第6章 保形映射152

6.1 保形映射的概念153

6.1.1 曲线切线的方向和两条曲线的夹角153

6.1.2 解析函数导数的几何意义154

6.1.3 保形映射158

6.1.4 单叶解析函数的保形性159

6.2 保形映射的基本问题159

6.3 分式线性映射161

6.3.1 分式线性映射的概念161

6.3.2 分式线性映射的分解162

6.3.3 分式线性映射的保形性163

6.3.4 分式线性映射的其他性质165

6.3.5 分式线性映射的确定及其应用170

6.4 几个初等函数所构成的映射176

6.4.1 幂函数w=zn与根式函数w=？所构成的映射176

6.4.2 指数函数w=ez与对数函数w=lnz所构成的映射180

阅读材料6 数学王子——高斯184

习题6187

参考答案与提示188

第7章 傅里叶变换190

7.1 傅里叶积分展开公式的形式推演191

7.2 傅氏变换的概念193

7.2.1 主值意义下的广义积分194

7.2.2 傅氏变换的定义194

7.2.3 傅氏积分定理195

7.2.4 傅氏变换的三角形式196

7.3 δ函数简介198

7.3.1 单位跃迁函数198

7.3.2 单位脉冲函数198

7.3.3 δ函数的傅氏变换200

7.4 傅氏变换的性质202

7.5 傅氏变换应用举例207

7.6 傅氏变换在频谱分析中的应用211

7.6.1 周期函数的频谱211

7.6.2 非周期函数的频谱212

阅读材料7 数学物理研究新天地的开辟人——傅里叶214

习题7215

参考答案与提示216

第8章 拉普拉斯变换218

8.1 拉普拉斯变换的定义219

8.1.1 拉普拉斯变换的基本概念219

8.1.2 拉氏变换的存在定理220

8.1.3 δ函数的拉氏变换221

8.2 拉氏变换的性质221

8.3 拉普拉斯逆变换227

8.3.1 拉氏逆变换存在定理227

8.3.2 逆变换的性质227

8.3.3 逆变换的计算229

8.4 卷积定理232

8.5 拉氏变换应用举例235

8.6 线性系统的传递函数240

阅读材料8 天体力学之父——拉普拉斯242

习题8243

参考答案与提示245

第9章 复变函数与积分变换（续）247

9.1 用复变函数表示平面场247

9.2 初等黎曼曲面248

9.3 解析函数的流体力学解释250

9.4 最简单孤立奇点的流体力学解释举例253

9.5 常型施图姆-刘维尔问题254

9.6 儒可夫斯基映射（机翼映射）262

9.7 傅氏积分定理的证明264

附录A 傅里叶变换简表271

附录B 拉普拉斯变换简表276

名词索引282

参考文献284