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第一篇 考研真题（数学一）与解答1

A.2009年真题与解答1

B.2010年真题与解答13

C.2011年真题与解答25

第二篇 快捷解题方法37

A.高等数学37

第一章 一元函数微分学37

001数列单调性的快捷判别法37

002由数列极限定义的函数表达式的快捷计算法41

003等价无穷小的快捷寻找法44

004 0/0型未定式极限的快捷计算法49

005 x→∞时，∞/∞型未定式极限的快捷计算法54

006 x→∞时，∞-∞型未定式极限的快捷计算法55

007 0·∞型未定式极限的快捷计算法58

008曲线的非铅直渐近线的快捷计算法62

009分段函数导数的快捷计算法64

010形如lim x→x0 f（u（x））-f（u（x0））/g（v（x））-g（v（x0））的0/0型未定式极限的快捷计算法70

011函数g（x）|f（x）|不可导点的快捷计算法72

012反函数不可导点的快捷计算法74

013初等函数导数的快捷计算法75

014初等函数f（x）在点x0处的高阶导数f（n） （x0）的快捷计算法77

015初等函数高阶导数的快捷计算法82

016平面曲线切线的快捷计算法85

017存在ξ，使得f（ξ）=0的有关命题的快捷证明法88

018存在ξ，使得f＇（ξ）=0的有关命题的快捷证明法90

019存在ξ，使得G（ξ，f（ξ）,f＇（ξ））=0的有关命题的快捷证明法（Ⅰ）92

020存在ξ，使得G（ξ，f（ξ），f＇（ξ））=0的有关命题的快捷证明法（Ⅱ）95

021存在ξ，使得G（ξ，f（ξ），f＇（ξ），f″（ξ））=0的有关命题的快捷证明法98

022存在ξ，使得f″（ξ）≤k（常数）的有关命题的快捷证明法101

023恒等式的快捷证明法103

024分段函数极值的快捷计算法105

025函数最值的快捷计算法108

026由函数图像确定导函数图像或由导函数图像确定函数性态的快捷方法111

027函数不等式的快捷证明法114

028方程f（x）=0实根个数的快捷判定法119

第二章 一元函数积分学123

029计算不定积分时，变量代换的快捷选定法123

030利用分部积分快捷计算不定积分方法128

031真分式不定积分的快捷计算法132

032通过配置∫g（x） dx，快捷计算不定积分∫f（x）dx的方法137

033不定积分∫a1 sin x + b1 cos x/asin x + bcos x dx的快捷计算法140

034巧用换元积分法与分部积分法计算定积分的快捷方法144

035利用被积函数奇偶性和周期性快捷计算定积分方法147

036定积分值所在范围的快捷估计法151

037积分上限函数导数的快捷计算法155

038被积函数为分段函数的积分上限函数表达式的快捷计算法158

039卷积型积分的快捷计算法164

040利用定积分快捷计算和式极限方法169

041在包含有f（x）的定积分的条件下，存在ξ，使得G（ξ， f（ξ），f′（ξ） =0的有关命题的快捷证明法172

042存在ξ，使得G（ξ，f（ξ），∫ ξ α f（t） dt） =0的有关命题的快捷证明法175

043定积分不等式的快捷证明法177

044平面图形面积的快捷计算法182

045 X型（或Y型）平面图形D绕平行于x轴（或y轴）但不穿过D的直线旋转一周而成的旋转体体积的快捷计算法186

046立于斜轴上的曲边梯形旋转一周而成的旋转体体积的快捷计算法189

第三章 多元函数微分学192

047二重极限不存在的快捷判别法192

048二元函数可微性的快捷判别法194

049二元函数偏导数与二阶偏导数的快捷计算法197

050由z=z（x，y）的全微分计算z=z（x，y）的快捷方法202

051曲面切平面的快捷计算法205

052二元函数条件极值的快捷计算法208

053有界闭区域上二元连续函数最值的快捷计算法214

第四章 多元函数积分学218

054二重积分的快捷计算法218

055卷积型二重积分的快捷计算法222

056变积分区域上二重积分的快捷计算法224

057二重积分取值范围的快捷估计法226

058三重积分的快捷计算法228

059二次积分积分次序的快捷更换法233

060与旋转轴异面的线段所产生的旋转曲面方程与相关旋转体体积的快捷计算法238

061空间曲线参数化的快捷方法240

062关于弧长的曲线积分的快捷计算法243

063关于坐标的平面曲线积分的快捷计算法248

064关于坐标的空间曲线积分的快捷计算法256

065两类曲线积分的快捷转换法262

066关于面积的曲面积分的快捷计算法265

067关于坐标的曲面积分的快捷计算法269

068两类曲面积分的快捷转换法279

069闭曲面围成的立体体积的快捷计算法283

070曲面面积的快捷计算法285

第五章 无穷级数与常微分方程289

071正项级数收敛性的快捷判别法289

072任意项级数收敛性的快捷判别法294

073抽象级数收敛性的快捷证明法298

074幂级数收敛域的快捷计算法301

075函数幂级数的快捷展开法306

076幂级数和函数的快捷计算法311

077级数和的快捷计算法315

078傅里叶级数或正、余弦级数和函数的快捷计算法319

079一阶微分方程快捷求解法324

080二阶微分方程的快捷求解法327

081右端函数为分段函数的一阶线性微分方程的快捷求解法330

082方程y（x）=∫ x 0 g（x，y（t））dt+h（x）的快捷求解法335

B.线性代数341

第六章 矩阵与向量341

083矩阵式的快捷计算法341

084数字矩阵逆矩阵的快捷计算法344

085抽象矩阵可逆性判别与逆矩阵计算的快捷方法348

086分块矩阵或经由初等变换后的矩阵的转置、求逆及伴随矩阵的快捷计算法351

087向量组线性相关性的快捷判别法354

088向量组的极大线性无关组的快捷计算法358

089有关矩阵秩问题的快捷证明法361

第七章 线性方程组365

090由线性方程组的有解性确定其中参数的快捷方法365

091两个线性方程组同解的快捷判别法371

092两个线性方程组公共解的快捷计算法374

093矩阵方程的快捷求解法377

094有关线性方程组问题的快捷证明法382

第八章 矩阵特征值与特征向量，二次型385

095矩阵特征值与特征向量的快捷计算法385

096由矩阵A的特征值与特征向量计算A中参数的快捷方法392

097矩阵可否相似对角化的快捷判别法396

098矩阵特征值与特征向量问题的快捷证明法404

099由可逆线性变换化二次型为标准形的快捷方法406

100由二次型f的标准形确定f中的参数或f的表达式的快捷方法413

101有关正定二次型或正定矩阵问题的快捷证明法418

C.概率论与数理统计422

第九章 随机事件概率计算422

102分层应用全概率公式快捷计算随机事件概率的方法422

103条件概率的快捷计算法424

104利用抽签原理快捷计算随机事件概率的方法427

第十章 随机变量及其分布431

105（一维）随机变量分布函数与分布律或概率密度的快捷换算法431

106（一维）连续型随机变量函数的概率密度的快捷计算法436

107与正态分布N（μ，σ2）有关问题的快捷计算法440

108两个连续型随机变量独立性的快捷判定法443

109二维连续型随机变量的两类条件概率的快捷计算法446

110二维连续型随机变量函数的概率密度的快捷计算法451

第十一章 随机变量的数字特征4

111将离散型随机变量X表示成若干个随机变量之和，快捷计算X的数字特征方法456

112利用常用随机变量的数字特征快捷计算连续型随机变量的数字特征方法460

113与二维正态分布N（μ1，μ2，σ2 1，σ2 2，ρ）有关问题的快捷计算法465

第十二章 数理统计471

114来自正态总体的样本统计量分布的快捷确定法471

115样本统计量数字特征的快捷计算法475

116非正态总体未知参数置信区间的快捷计算法480

参考文献483