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第一章 函数 极限 连续1

1 函数1

一、内容提要1

二、关于函数概念中的一些问题2

三、求函数的定义域3

四、函数的符号运算5

五、求反函数6

六、判断函数的奇偶性 求周期函数的周期8

七、极坐标中的作图法10

2 极限11

一、内容提要11

二、关于极限概念中的一些问题13

三、运用极限的四则运算时应注意的问题14

四、使用两个重要极限时要注意的问题15

五、当x→∞时，有理分式？(其中P(x)，Q(x)均为x的多项式)的极限应怎样处理15

六、求？未定型极限有些什么方法16

七、求1∞型极限有些什么方法18

八、如何利用等价无穷小的代换定理19

3 函数的连续性21

一、内容提要21

二、关于函数连续概念中的一些问题22

三、分段函数在其分段点处是否一定间断23

四、分段函数在分段点处如何讨论其连续性24

五、如何找函数的间断点及判定其类型25

六、定理五及定理六中不是闭区间行吗26

七、求极限的方法小结27

4 综合杂题28

5 教材中第一章习题内某些题的分析与提示31

6 自我检查题及其解答35

一、自我检查题35

二、自我检查题的解答37

1 导数的概念39

一、内容提要39

第二章 导数与微分39

二、用导数定义求函数的导数与导函数40

三、分段函数在分段点处如何求导数41

四、极限、连续、可导之间的关系42

五、切线及其有关的问题42

六、导数的物理意义44

一、内容提要45

二、求导数时，易发生的繁琐与错误45

2 函数的微分法45

三、导数的四则运算47

四、求导中常用的简捷方法介绍47

五、复合函数求导的方法和步骤48

六、初等函数的表达式中有复合运算又有四则运算时，如何求导50

3 函数的微分及其在近似计算中的应用51

一、内容提要51

二、求函数的微分52

三、微分在近似计算中的应用53

一、求由方程F(x，y)=0所确定的函数的导数55

4 隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法55

二、求由参数方程？，所确定的函数的导数56

5 对数微分法 幂指函数求导57

一、对数微分法57

二、幂指函数求导58

6 高阶导数求法59

一、内容提要59

二、显函数y=f(x)的高阶导数的求法59

三、如何求隐函数的二阶导数60

四、如何求由参数方程所确定的函数的二阶导数61

7 综合杂题61

一、讨论分段函数在分段点处的二阶可导性61

二、显函数的n阶导数求法63

三、几何应用65

8 教材中第二章习题内某些题的分析与提示67

9 自我检查题及其解答75

一、自我检查题75

二、自我检查题的解答76

1 微分中值定理 洛必达法则81

一、内容提要81

二、有关微分中值定理的说明81

第三章 导数的应用81

三、用洛必达法则求极限时应注意的问题83

四、用洛必达法则求极限84

2 函数的增减性 极值 最大值与最小值87

一、内容提要87

二、确定函数的单调性的一般步骤87

三、求函数的极值的方法和步骤88

四、利用函数的增减性与极值证明不等式89

五、求最大值最小值91

六、驻点、极值点、最值点的关系94

一、内容提要95

二、凹凸区间及拐点的求法95

3 曲线的凹凸性与拐点 渐近线作函数的图形95

三、渐近线的求法96

四、作函数y=f(x)的图形97

4 综合杂题98

一、求极限的杂题98

二、求导的杂题101

三、讨论方程f(x)=0的根103

5 教材中第三章习题内某些题的分析与提示105

一、自我检查题116

6 自我检查题及其解答116

二、自我检查题的解答117

第四章 不定积分121

1 不定积分概念 性质 基本积分表121

一、内容提要121

二、原函数与不定积分概念122

三、利用基本积分表及基本性质计算不定积分123

一、内容提要124

二、凑微分法(简称凑法)的一些说明124

2 第一换元法(或称凑微分法)124

三、怎样使用凑微分法125

四、使用三角恒等式与代数恒等式，将被积函数化为可用凑微分或分项的积分法127

五、关于不定积分？dx的积分方法，其中A，B，a，b，c为常数，其中a≠0128

3 第二换元法(简称换元法)130

一、内容提要130

二、被积函数中含有？，？或？的积分法130

三、被积函数中含有？，？，？或、？的积分法132

二、分部积分法的要点与计算格式134

4 分部积分法134

一、内容提要134

5 综合杂题137

6 教材中第四章习题内某些题的分析与提示139

7 自我检查题及其解答143

一、自我检查题143

二、自我检查题的解答143

一、内容提要147

1 定积分概念与性质147

第五章 定积分147

二、定积分与面积148

三、定积分性质的应用149

2 微积分的基本公式151

一、内容提要151

二、有关变上限定积分的一些问题及其应用151

三、正确使用牛顿—莱布尼茨公式153

一、内容提要154

3 定积分的换元积分法与分部积分法154

二、定积分的换元法与分部积分法155

4 反常积分(或称广义积分)158

一、内容提要158

二、计算反常积分159

5 综合杂题161

6 教材中第五章习题内某些题的分析与提示164

7 自我检查题及其解答167

一、微元法168

二、直角坐标系中平面图形面积的计算168

1 定积分的几何应用与物理应用168

第六章 定积分的应用168

三、极坐标系中平面图形面积的计算170

四、曲线由参数方程表示的平面图形的面积的计算172

五、旋转体的体积173

六、物理应用(一)——变力作功175

七、物理应用(二)——引力177

2 综合杂题178

3 教材中第六章习题内某些题的分析与提示182

4 自我检查题及其解答189

一、自我检查题189

二、自我检查题的解答190

第七章 微分方程195

1 微分方程的一般概念195

一、内容提要195

二、有关微分方程概念中的一些问题195

一、内容提要197

2 一阶微分方程的解法197

二、变量可分离的方程有什么特征及其解法198

三、齐次方程y′=f(？)的解法200

四、一阶线性方程的解法202

3 二阶常系数线性微分方程的解法205

一、内容提要205

二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法及其有关问题206

三、二阶常系数线性非齐次方程的解法208

四、利用复函数求解二阶常系数线性非齐次方程的一个特解211

4 微分方程的应用215

一、微分方程的几何应用215

二、微分方程的物理应用——运动问题217

三、微分方程的其他应用(微分法)219

5 综合杂题220

一、概念题220

二、变量代换在解微分方程中的应用222

三、二阶线性微分方程的杂题224

6 教材中第七章习题内某些题的分析与提示226

7 自我检查题及其解答229

一、自我检查题229

二、自我检查题的解答231

第八章 向量代数 空间解析几何235

1 向量概念及其加、减法和数乘运算235

一、内容提要235

二、有关向量概念及其运算的一些问题236

2 数量积和向量积的计算及其应用239

一、内容提要239

二、有关点积、叉积概念和运算中的一些问题240

三、点积与叉积242

3 求平面和直线方程的基本思路244

一、内容提要244

二、平面方程的一些特殊情况245

三、求平面方程的基本思路246

四、直线方程的一些特殊情况250

五、求直线方程的基本思路253

一、内容提要256

4 柱面 旋转面 锥面256

二、曲面、曲线举例257

5 综合杂题259

6 教材中第八章习题内某些题的分析与提示262

7 自我检查题及其解答269

一、自我检查题269

二、自我检查题的解答270

一、内容提要274

第九章 多元函数微分学274

1 函数 极限 连续 偏导数和高阶偏导数274

二、有关函数、极限、连续和偏导数概念的一些问题275

三、如何求偏导数和高阶偏导数279

2 全微分 复合函数的微分法隐函数的微分法281

一、内容提要281

二、如何求全微分及复合函数与隐函数的偏导数282

一、内容提要288

二、求切线和切平面的方法288

3 多元函数微分法在几何上的应用288

4 极值与条件极值291

一、内容提要291

二、极值与条件极值的求法292

5 综合杂题295

6 教材中第九章习题内某些题的分析与提示298

7 自我检查题及其解答305

一、自我检查题305

二、自我检查题的解答306

第十章 重积分312

1 二重积分312

一、内容提要312

二、二重积分在直角坐标系下的累次积分法314

三、二重积分在极坐标系下的累次积分法317

四、二重积分的几何应用与物理应用320

2 三重积分325

一、内容提要325

二、三重积分的计算法——各种坐标系下的累次积分法327

3 综合杂题329

4 教材中第十章习题内某些题的分析与提示331

5 自我检查题及其解答335

一、自我检查题335

二、自我检查题的解答336

第十一章 曲线积分 曲面积分341

1 曲线积分的概念、性质和计算341

一、内容提要341

二、对弧长的曲线积分的计算方法343

三、对坐标的曲线积分的计算方法345

2 格林公式 曲线积分与路径无关的条件348

一、内容提要348

二、怎样利用格林公式计算曲线积分348

三、曲线积分与路径无关的应用350

3 曲面积分 高斯公式351

一、内容提要351

二、两类曲面积分的计算354

三、高斯公式357

4 综合杂题358

5 教材中第十一章习题内某些题的分析与提示360

6 自我检查题及其解答364

一、自我检查题364

二、自我检查题的解答365

第十二章 级数369

1 数项级数概念与性质369

一、内容提要369

二、级数概念与性质370

2 正项级数及其审敛法374

一、内容提要374

二、比较判别法375

三、比值判别法(或称达朗贝尔判别法)376

四、常出现的一些错误378

3 任意项级数379

一、内容提要379

二、交错级数的判敛380

三、任意项级数的条件收敛与绝对收敛381

4 幂级数383

一、内容提要383

二、求收敛半径与收敛域384

三、求幂级数的和函数的一些方法386

5 函数的幂级数展开389

一、内容提要389

二、函数f(x)展开为幂级数的方法390

一、内容提要392

6 傅里叶级数392

二、区间(-∞，+∞)上的傅里叶级数394

三、［0，π］上的正弦级数和余弦级数395

7 综合杂题397

一、利用级数的部分和、级数的性质讨论级数的收敛性397

二、求幂级数的和函数399

8 教材中第十二章习题内某些题的分析与提示401

9 自我检查题及其解答410

一、自我检查题410

二、自我检查题的解答411