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引言1

1 边界元法的数学基础2

2 边界元法的发展历史3

3 我国边界元法研究概况5

4 边界元法研究的最新进展7

5 边界元法的应用举例8

6 边界元法的优缺点12

7 本书的内容安排14

参考文献15

第一章 位势问题的边界积分方程与边界元法18

1 调和方程的基本定解问题18

2 Green等式、基本解及解的积分表达式20

3 边界积分方程的建立23

4 对于一般问题的推广25

5 位势问题的边界元法简介26

习题28

附录1 指标符号与笛卡儿张量简介28

A1.1 指标符号28

A1.2 矢量30

A1.3 张量和张量场30

参考文献35

第二章 线弹性静力学问题的边界积分方程36

1 线弹性静力学定解问题的微分提法36

2 Betti定理、Kelvin解及Somigliana等式38

3 线弹性静力学的边界积分方程40

4 建立基本解的一种一般方法44

习题47

参考文献47

第三章 几种常见的直接法和间接法边界积分方程48

1 核函数的扩充48

2 回转体问题51

2.1 变截面轴的扭转问题51

2.2 轴对称问题52

2.3 回转体的弯曲问题56

3 弹性薄板弯曲问题57

3.1 弹性薄板弯曲问题的微分提法58

3.2 弹性薄板弯曲问题的基本边界积分方程59

3.3 弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方程60

4 弹性裂纹问题的对偶边界积分方程61

4.1 位移边界积分方程61

4.2 面力边界积分方程62

5 半空间、半平面问题64

5.1 半空间问题64

5.2 半平面问题66

6 位势问题的间接法边界积分方程68

7 虚应力法建立的边界积分方程70

8 位移间断法建立的边界积分方程70

9 域外回线虚载荷法建立的回线积分方程72

10 域外奇点法建立的边界积分方程72

11 边界积分方程的正则化和基本解的恒等式73

习题74

参考文献74

第四章 二维问题的边界元数值方法与程序实现76

1 边界的离散化76

1.1 二维域边界线的几何描述及单元自动划分76

1.2 二维域的边界线元单元描述78

2 边界积分方程的离散化79

2.1 由加权余量法配点格式将边界积分方程化为线性代数方程组80

2.2 核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分83

2.3 奇异积分的处理86

2.3.1 弱奇异积分的处理87

2.3.2 Cauchy主值积分和超奇异积分的简单特解法88

2.3.3 Cauchy主值积分和超奇异积分的有限部分积分的一般性处理方法91

3 方程的求解以及边界应力、内点位移和应力的确定93

3.1 离散化的边界积分方程的求解93

3.2 边界应力的确定94

3.3 内点位移和应力的确定94

4 边界元法计算误差的一种直接估计95

4.1 内点变量趋于边界点极限的确定95

4.2 边界元解误差的一种直接估计96

4.3 基于边界元解误差直接估计的边界元自适应计算简例97

5 边界元子域法99

5.1 边界元链状子域法99

5.2 边界元重复相似子域法101

5.3 边界元行列子域法104

习题106

附录4 弹性力学平面问题边界元分析软件部分源程序106

A4.1 FORTRAN程序BIEBE2说明106

A4.2 C++源程序116

参考文献134

第五章 三维问题的边界元数值方法136

1 边界的离散化136

1.1 用I-J映射法自动划分单元136

1.2 三维域的边界面元单元描述138

2 边界积分方程的离散化140

2.1 核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分140

2.2 弱奇异积分的处理141

2.3 奇异积分和近奇异积分的简单特解法143

2.4 Cauchy主值积分的直接计算法143

2.5 超奇异积分的有限部分积分146

3 线性代数方程组的求解147

4 裂纹问题对偶边界元法148

4.1 裂纹面的分元离散148

4.2 确定应力强度因子的方法149

5 边界元-有限元耦合方法153

习题155

附录5 三维位势问题边界元分析软件使用说明155

A5.1 FMBEM_LAPLACE3D简介155

A5.2 使用方法156

A5.2.1 前处理156

A5.2.2 运行程序158

A5.2.3 结果信息158

A5.3 前处理转换软件PAT_TRANSLATOR使用说明159

A5.3.1 生成MSC.PATRAN前处理文件159

A5.3.2 生成BEM_INP.DAT前处理文件160

参考文献161

第六章 与时间有关问题的边界元法162

1 瞬态热传导问题162

1.1 Laplace变换法163

1.2 边界元-时间差分耦合法164

1.3 与时间有关的基本解164

2 弹性动力学问题165

2.1 基于与时间有关基本解的边界积分方程与边界元法166

2.1.1 与时间有关的基本解166

2.1.2 时间-空间域的边界积分方程167

2.1.3 时间-空间域的弹性动力学边界元法168

2.2 Laplace变换法170

2.2.1 在Laplace变换空间的边界积分方程170

2.2.2 边界积分方程的离散171

2.2.3 Laplace反演方法172

2.3 双重互易法173

习题175

附录6 弹性动力学边界元法补充公式175

A6.1 弹性动力学二维问题的时间-空间域基本解175

A6.2 弹性动力学三维问题时间-空间域基本解的时间积分177

A6.3 弹性动力学三维问题的一种新的时空域边界积分方程178

A6.4 弹性动力学三维问题的一种新的高效的时空域边界元法187

参考文献189

第七章 固体力学非线性问题和反问题的边界元法192

1 弹塑性问题的边界元法192

1.1 弹塑性问题的微分描述193

1.2 初应变法的积分描述194

1.3 边界积分方程的离散195

1.4 求解算法197

2 弹性接触问题的边界元法198

2.1 三维弹性接触问题边界元法的求解方程199

2.2 三维弹性接触问题边界元法的增量迭代解法201

2.3 三维弹性接触问题边界单元的选择及Gauss积分方案204

2.4 三维弹性体移动接触问题的一种固定节点-可动节点三角形单元方案204

3 弹性结构形状优化的边界元法206

4 用于识别残余应力场反方法的边界元法208

4.1 识别弹性体内残余应力场的反问题208

4.2 识别弹性体内残余应力场的边界积分方程209

4.3 残余应力计算及反问题求解211

4.4 此方法与直接采用最小二乘法处理实验数据和采用有限元法的比较212

附录7 弹塑性问题边界元法的简要补充212

A7.1 一维与率不相关各向同性强化的弹塑性本构关系212

A7.1.1 应变率212

A7.1.2 应力率213

A7.1.3 屈服条件213

A7.1.4 塑性流动法则213

A7.1.5 加卸载条件213

A7.1.6 一致性条件213

A7.1.7 切线模量213

A7.2 三维与率不相关各向同性强化的弹塑性本构关系214

A7.2.1 应变率214

A7.2.2 应力率214

A7.2.3 屈服条件214

A7.2.4 塑性流动法则215

A7.2.5 加卸载条件215

A7.2.6 一致性条件215

A7.2.7 弹塑性切线模量张量216

A7.3 三维弹塑性问题边界点的应力216

A7.4 三维弹塑性问题边界积分方程中奇异积分的处理216

A7.4.1 体积分中近奇异积分的处理217

A7.4.2 体积分中弱奇异积分的处理217

A7.4.3 体积分中强奇异积分的处理217

A7.5 三维弹塑性问题域内六面体网格的形函数218

A7.6 弹塑性平面问题初应变法的积分方程和相应公式218

A7.7 初应力法和虚体力法220

参考文献220

第八章 快速多极边界元法226

1 快速多极算法的发展历史227

2 快速多极边界元法的基本原理228

2.1 核函数的展开229

2.2 多极展开系数230

2.3 多极展开系数的传递231

2.4 局部展开系数232

2.5 局部展开系数的传递232

2.6 新型算法的指数展开233

2.6.1 指数展开的定义233

2.6.2 多极展开向指数展开系数的传递235

2.6.3 指数展开系数的传递235

2.6.4 指数展开向局部展开系数的传递236

2.7 自适应树结构237

3 快速多极边界元法的计算步骤238

3.1 计算步骤238

3.1.1 边界单元离散238

3.1.2 生成树结构239

3.1.3 下行（从叶子往根方向）遍历计算多极展开系数239

3.1.4 上行（从根向叶子方向）遍历计算局部展开系数239

3.1.5 利用树结构计算积分240

3.1.6 更换迭代矢量242

3.2 新型算法242

3.2.1 上行遍历计算指数展开系数242

3.2.2 上行遍历传递指数展开系数242

3.2.3 上行遍历计算局部展开系数242

3.3 计算复杂度的量级分析243

3.3.1 存储量243

3.3.2 计算量243

4 快速多极边界元法的迭代预处理技术245

5 快速多极边界元法精度和效率的验证246

5.1 计算精度与多极展开、局部展开阶数的关系246

5.2 大规模计算的精度247

5.3 不同类型单元计算精度的比较248

5.4 快速多极边界元法计算量和存储量与常规边界元法的比较250

5.5 快速多极边界元法的迭代收敛验证251

6 快速多极边界元法在复合材料模拟中的应用252

6.1 长纤维增强复合材料二维模型的快速多极边界元模拟252

6.2 颗粒增强复合材料三维模型的快速多极边界元模拟254

6.3 短纤维增强复合材料三维模型的快速多极边界元模拟254

7 快速多极边界元法在含裂纹二维弹性体模拟中的应用257

7.1 含大量裂纹二维无限弹性体的数值模拟257

7.2 一种特殊的裂尖单元和计算应力强度因子的一点裂纹张开位移（COD）公式259

7.3 核函数和边界积分方程的快速多极展开及方程求解260

7.4 用于二维裂纹分析的快速多极对偶边界元法262

7.4.1 对偶边界积分方程262

7.4.2 快速多极算法的展开格式262

7.5 模拟裂纹疲劳扩展的数值方法263

7.5.1 裂纹疲劳扩展长度的确定264

7.5.2 裂纹疲劳扩展方向的确定264

7.5.3 几何模型的更新265

7.5.4 裂纹相互连接的模拟265

7.6 含大量裂纹二维弹性体模拟的数值算例265

7.6.1 在一个方形区域内含大量裂纹的二维无限弹性体的数值模拟265

7.6.2 快速多极对偶边界元法精度与效率的验证266

7.6.3 快速多极对偶边界元法大规模计算的精度验证268

7.6.4 疲劳裂纹扩展的快速多极边界元模拟269

7.6.5 疲劳裂纹扩展的快速多极边界元大规模模拟270

7.6.6 二维含大量微裂纹弹性固体等效弹性模量计算270

8 二维弹塑性问题的快速多极边界元法272

8.1 二维弹塑性问题边界元法的快速多极展开与数值实现273

8.1.1 多极展开273

8.1.2 多极展开系数之间的传递273

8.1.3 局部展开274

8.1.4 局部展开系数之间的传递274

8.1.5 快速多极算法的数值实现274

8.2 增量分析与迭代求解276

8.2.1 弹塑性状态的判断276

8.2.2 迭代求解步骤276

8.2.3 辅助树结构的使用277

8.3 数值算例278

8.3.1 开孔矩形板承受单向拉伸278

8.3.2 含有256个周期性分布圆孔的方板的大规模弹塑性计算279

附录8 快速多极边界元法具体公式281

A8.1 三维Laplace方程281

A8.1.1 核函数的展开282

A8.1.2 多极展开系数282

A8.1.3 多极展开系数的传递283

A8.1.4 局部展开系数283

A8.1.5 局部展开系数的传递284

A8.1.6 新型算法的指数展开284

A8.2 三维弹性静力学问题286

A8.2.1 核函数的展开287

A8.2.2 多极展开系数287

A8.2.3 多极展开系数的传递288

A8.2.4 局部展开系数288

A8.2.5 局部展开系数的传递289

A8.2.6 新型算法的指数展开289

A8.3 三维Stokes方程290

A8.3.1 核函数的展开290

A8.3.2 多极展开系数291

A8.3.3 多极展开系数的传递292

A8.3.4 局部展开系数292

A8.3.5 局部展开系数的传递292

A8.3.6 新型算法的指数展开292

参考文献293

第九章 大规模问题的快速多极边界元并行算法299

1 常规边界元法的并行计算299

2 快速多极边界元并行计算流程300

3 不平衡树结构的一维映射301

4 任务划分304

4.1 计算量预测304

4.1.1 传递算子计算时间的标定304

4.1.2 边界单元负载的标定305

4.1.3 结点负载的标定305

4.2 基于树结点的任务划分方式305

5 通信关系的建立和数据通信过程307

5.1 通信关系的建立307

5.1.1 任务间“相互作用列表”结点通信关系的建立过程308

5.1.2 任务间直接积分计算部分结点通信关系的建立过程309

5.2 数据通信的过程310

6 精度与效率的测试310

6.1 大规模计算精度测试310

6.2 并行计算的性能和效率312

6.3 并行计算加速比的比较313

6.4 在复杂形状纤维增强复合材料模拟中的应用314

6.5 在弯曲纤维增强复合材料模拟中的应用317

6.6 在碳纳米管增强复合材料模拟中的应用319

6.7 在微机电系统流体仿真中的应用321

参考文献323

第十章 边界元法在机械与结构工程中的应用324

1 边界元法在机械结构完整性评定方面的应用324

1.1 耐久性评定325

1.2 损伤容限评定327

1.3 压力容器和管道适用性评价332

1.4 修补和维护332

2 边界元法在机械结构应力分析方面的应用332

2.1 常规边界元法应力分析大规模计算实例333

2.2 快速多极边界元法应力分析大规模计算336

3 我国学者在机械与结构方面成功应用边界元法的若干典型实例337

3.1 边界元法在水工结构方面的应用338

3.2 边界元法在轧制工程接触分析方面的应用339

参考文献341

第十一章 边界元法在声场、电磁场问题中的应用342

1 声场计算和声学设计342

1.1 常规边界元法和边界元-有限元耦合方法343

1.2 快速多极边界元法344

2 结构防腐阴极保护系统设计345

2.1 舰船等结构的阴极保护系统346

2.2 优化舰船防腐设计减小静电场347

3 电磁场分析348

3.1 静电场分析348

3.2 静磁场分析349

3.3 时间简谐电磁场和涡流分析350

3.4 带电粒子射线分析351

3.5 高频电磁场分析352

4 快速多极边界元法在电磁波散射方面的应用352

参考文献356

第十二章 几种边界型无网格法简介357

1 二维位势问题的边界点法358

1.1 移动最小二乘插值358

1.2 边界积分方程及其离散化359

2 二维位势问题的杂交边界点法361

2.1 杂交边界点法的积分方程361

2.2 杂交边界点法的计算方案363

2.3 二维位势问题杂交边界点法数值算例364

2.4 权函数中参数的取值对计算精度的影响369

3 二维位势问题的正则杂交边界点法371

3.1 正则杂交边界点法371

3.2 正则杂交边界点法数值算例371

4 三维位势问题的正则杂交边界点法376

4.1 一般三维曲面的一种移动最小二乘近似方案376

4.2 三维位势问题的正则杂交边界点法377

4.3 数值算例379

5 弹性力学问题的正则杂交边界点法380

5.1 弹性力学平面问题380

5.2 弹性力学平面问题算例381

5.3 三维弹性力学问题385

5.4 三维弹性力学问题算例386

6 弹性力学平面问题的奇异杂交边界点法388

6.1 奇异杂交边界点法的改进措施388

6.2 奇异杂交边界点法数值算例389

7 快速多极算法加速的杂交边界点法390

8 边界型的无网格局部Petrov-Galerkin法392

参考文献393