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第一章 基础知识1

1.1 偏微分方程基本概念1

1.1.1 方程的分类2

1.1.2 方程的特征线3

1.1.3 方程组的分类5

1.1.4 定解条件7

1.2 矩阵的基本概念8

1.3 矩阵重要性质与定理11

1.3.1 三对角矩阵特征值12

1.3.2 矩阵特征值估计及非奇异性判定19

1.3.3 Schur定理26

1.4 向量和矩阵的范数28

1.4.1 矩阵范数与谱半径的关系30

1.4.2 矩阵范数的估计31

1.4.3 矩阵序列的收敛性35

1.5 常用定理37

1.5.1 实系数多项式的根37

1.5.2 Newton-Cotes型数值积分公式38

1.5.3 Green公式39

1.6 练习40

第二章 有限差分近似基础43

2.1 网格及有限差分记号43

2.2 空间导数近似45

2.3 导数的算子表示48

2.4 任意阶精度差分格式的建立51

2.4.1 Taylor级数表51

2.5 非均匀网格54

2.6 Fourier误差分析55

2.7 练习59

第三章 紧致差分格式60

3.1 差分近似的推广60

3.2 各阶导数的紧致格式63

3.2.1 一阶导数近似63

3.2.2 二阶导数近似64

3.2.3 三阶导数近似65

3.2.4 四阶导数近似65

3.3 交错网格上的紧致格式66

3.3.1 一阶导数66

3.3.2 二阶导数66

3.4 联合一阶和二阶导数的紧致格式67

3.4.1 系数对称67

3.4.2 系数非对称68

3.5 单边格式69

3.6 练习69

第四章 差分格式稳定性分析71

4.1 收敛性71

4.1.1 初值问题71

4.1.2 初边值问题73

4.2 相容性75

4.2.1 初值问题75

4.2.2 初边值问题80

4.3 稳定性84

4.4 Lax定理88

4.5 稳定性分析方法89

4.5.1 Fourier级数法（即von Neumann法）90

4.5.2 矩阵分析法100

4.6 练习108

第五章 抛物型方程111

5.1 一维常系数扩散方程111

5.1.1 向前和向后差分格式111

5.1.2 加权隐式格式112

5.1.3 三层显式格式113

5.1.4 三层隐式格式115

5.1.5 预测-校正格式116

5.1.6 不对称格式117

5.2 对流扩散方程120

5.2.1 FTCS格式121

5.2.2 单元法122

5.2.3 混合型格式122

5.3 二维热传导方程125

5.3.1 加权差分格式125

5.3.2 Saul’yev不对称格式126

5.3.3 Du Fort-Frankel格式127

5.3.4 交替方向隐式（ADI）格式128

5.3.5 局部一维（LOD）法130

5.4 练习131

第六章 双曲型方程133

6.1 线性对流方程133

6.1.1 迎风格式133

6.1.2 Lax-Friedrichs格式134

6.1.3 Lax-Wendroff格式137

6.1.4 MacCormack格式138

6.1.5 Wendroff隐式格式139

6.1.6 Crank-Nicolson格式140

6.2 特征线与差分格式140

6.3 数值耗散和数值频散144

6.3.1 偏微分方程的频散和耗散144

6.3.2 差分格式的频散与耗散145

6.4 一阶双曲型方程组152

6.4.1 特征形式152

6.4.2 差分格式155

6.5 一阶二维双曲型方程158

6.5.1 典型差分格式158

6.5.2 交替方向隐式（ADI）格式161

6.5.3 非线性方程165

6.6 波动方程166

6.6.1 一维波动方程166

6.6.2 二维波动方程173

6.7 练习177

第七章 流体力学方程179

7.1 流体力学的控制方程179

7.2 二维非定常可压黏性流方程183

7.2.1 Lax-Wendroff格式183

7.2.2 MacCormack格式184

7.3 二维非定常不可压黏性流186

7.4 一维守恒律方程的差分格式189

7.5 高分辨率格式196

7.5.1 通量限制器法197

7.5.2 斜率限制器法200

7.6 守恒形式方程的矢通量分裂法201

第八章 椭圆型方程205

8.1 两点边值问题的差分格式205

8.1.1 差分近似206

8.1.2 有限体积法207

8.2 基于变分原理的差分格式210

8.2.1 基于Ritz方法的差分近似213

8.2.2 基于Galerkin方法的差分近似218

8.3 Laplace方程的五点差分格式222

8.4 有限体积法231

8.5 Poisson方程基于Ritz方法的差分格式232

8.5.1 二维椭圆型边值问题的变分形式232

8.5.2 差分格式推导235

8.6 正三角形和正六边形网格238

8.7 边界条件的处理240

8.7.1 Dirichlet边界条件240

8.7.2 Neumann边界条件242

8.7.3 Robbins边界条件244

8.8 差分格式的收敛性分析247

8.9 极坐标下Poisson方程的差分格式250

8.10 练习256

第九章 有限元方法258

9.1 Sobolev空间258

9.2 迹定理262

9.3 变分边值问题264

9.3.1 边值问题的变分形式264

9.3.2 解的存在性和唯一性265

9.4 Galerkin方法268

9.5 Galerkin近似解的误差与收敛性270

9.6 Rayleigh-Ritz方法273

9.7 有限元离散274

9.7.1 一维问题275

9.7.2 二维问题278

9.7.3 三维问题283

9.8 Hermite插值基函数285

9.9 Gauss求积公式288

9.9.1 一维求积公式288

9.9.2 四边形单元求积公式288

9.9.3 三角形单元求积公式290

9.10 误差分析292

9.10.1 二阶问题的误差298

9.11 等参元和数值积分影响299

9.11.1 等参变换299

9.11.2 数值积分影响301

第十章 边界元方法302

10.1 位势问题302

10.2 广义Green公式303

10.3 Laplace方程的基本解304

10.4 区域积分方程306

10.5 边界积分方程309

10.5.1 推导方法一309

10.5.2 推导方法二311

10.6 积分方程的离散313

10.6.1 常数元314

10.6.2 线性元317

10.6.3 等参二次元320

10.7 三维弹性问题322

10.7.1 基本方程322

10.7.2 区域积分方程323

10.7.3 边界积分方程325

10.7.4 积分方程的离散327

第十一章 离散方程的求解329

11.1 残量校正法329

11.1.1 迭代格式329

11.1.2 收敛性分析330

11.1.3 迭代中止准则333

11.2 基本迭代法334

11.2.1 Jacobi迭代格式335

11.2.2 Gauss-Seidel迭代格式338

11.2.3 逐次超松弛（SOR）迭代格式342

11.2.4 对称与反对称超松弛迭代格式343

11.2.5 其他迭代格式345

11.3 预条件迭代方法348

11.3.1 预条件Richardson（PR）法349

11.3.2 预条件Richardson极小残量（PRMR）法352

11.3.3 预条件Richardson最速下降（PRSD）法353

11.3.4 共轭梯度（CG）法354

11.3.5 预条件共轭梯度（PCG）法360

11.3.6 预条件子361

11.4 Krylov子空间迭代方法363

11.4.1 共轭梯度法方程残量（CGNR）法363

11.4.2 共轭梯度法方程误差（CGNE）法364

11.4.3 广义共轭残量（GCR）法364

11.4.4 Orthodir方法365

11.4.5 广义极小残量（GMRES）法366

11.4.6 极小残量（MINRES）法370

11.4.7 双共轭梯度（Bi-CG）法374

11.4.8 拟极小残量（QMR）法377

11.4.9 共轭梯度平方（CGS）法378

11.4.10 双共轭梯度稳定化（BiCGSTAB）法379

11.5 多重网格法381

11.5.1 低频分量与高频分量381

11.5.2 网格变换381

11.5.3 粗网格校正384

11.6 练习386

参考文献389

索引392