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绪论1

第一章 函数 极限与连续5

1.1 映射与函数5

一、集合 区间与邻域5

二、映射9

三、函数的概念11

四、函数的运算 反函数17

五、函数的几种简单性态21

六、基本初等函数 初等函数25

七、建立函数关系式举例34

习题 1.137

1.2 极限的概念39

一、数列的极限40

二、当自变量趋于无穷大时函数的极限45

三、当自变量趋于有限值时函数的极限48

四、单侧极限54

五、数列极限与函数极限的关系56

习题1.258

1.3 无穷小量 无穷大量59

一、无穷小量与无穷大量的概念59

二、无穷小量与无穷大量的关系60

三、无穷小的运算性质61

五、无界函数63

四、函数及其极限与无穷小之间的关系63

习题1.364

1.4 极限的性质及运算法则66

一、极限的性质66

二、极限的运算法则68

习题1.473

1.5 极限存在准则 两个重要极限74

一、夹逼准则74

二、单调有界准则80

三、无穷小的比较86

习题1.590

一、连续性的概念91

1.6 连续函数91

二、函数的间断点96

三、连续函数的运算100

四、初等函数的连续性102

五、闭区间上连续函数的性质104

习题1.6109

1.7 数学实验111

实验一 在计算机上绘制函数的图形111

实验二 用对分法求方程的根112

实验三 分形曲线112

实验四 椅子平稳模型115

复习题一117

第二章 一元函数微分学120

2.1 导数的概念120

一、引例120

二、导数的定义123

三、单侧导数126

四、导数的几何意义128

五、函数可导与连续的关系129

六、在经济学中导数的含义132

习题2.1133

一、导数的四则运算法则135

2.2 导数的运算法则135

二、反函数的求导法则138

三、复合函数的求导法则140

四、导数基本公式145

习题2.2147

2.3 隐函数与参数式函数的导数149

一、隐函数的导数149

二、参数式函数的导数153

三、相关变化率问题157

习题2.3160

2.4 高阶导数161

习题2.4167

一、微分的概念168

2.5 函数的微分168

二、微分运算法则172

三、函数的线性近似174

习题2.5177

2.6 微分中值定理178

一、函数的极值及其必要条件178

二、微分中值定理180

习题2.6189

2.7 不定型的极限190

一、0/0型与∞/∞型191

二、其他不定型194

习题2.7198

2.8 泰勒公式199

一、泰勒公式199

二、几个常用的麦克劳林公式204

三、泰勒公式的应用208

习题2.8212

2.9 函数的单调性与极值213

一、函数单调性的判定法213

二、函数极值的判定法217

三、最大值与最小值问题222

四、在经济学中的极值问题227

习题2.9229

2.10 函数的凸性与曲线的拐点231

习题2.10239

2.11 函数作图240

一、曲线的渐近线240

二、函数作图245

习题2.11247

2.12 曲线的曲率248

一、弧微分248

二、曲率250

习题2.12255

2.13 数学实验256

实验一 用牛顿——辛普森迭代法求方程的根256

实验二 拐角问题260

复习题二262

第三章 一元函数积分学265

3.1 定积分的概念与性质265

一、引例265

二、定积分的定义268

三、函数可积分的充分条件270

四、定积分的几何意义270

五、定积分的性质273

习题3.1278

3.2 微积分基本定理279

一、积分上限的函数280

二、微积分基本定理283

习题3.2284

3.3 不定积分的概念与性质285

一、不定积分的概念285

二、不定积分的几何意义286

三、不定积分的性质287

四、基本积分公式288

习题3.3294

3.4 换元积分法295

一、不定积分的换元积分法295

二、定积分的换元积分法311

习题3.4318

一、不定积分的分部积分法320

3.5 分部积分法320

二、定积分的分部积分法327

习题3.5331

3.6 有理函数的积分332

一、有理函数的积分332

二、三角函数的有理式的积分342

习题3.6345

3.7 广义积分345

一、无穷区间上的广义积分346

二、无界函数的广义积分350

三、Γ函数与β函数353

习题3.7356

一、微元法357

3.8 定积分的几何应用357

二、求平面图形的面积359

三、求体积364

习题3.8368

3.9 定积分的物理应用369

一、功369

二、引力372

三、液体的压力375

四、函数的平均值与均方根376

习题3.9379

实验一 数值积分380

3.10 数学实验380

实验二 钓鱼问题386

实验三 飞机油箱的长度问题386

实验四 倾斜水箱的体积问题386

复习题三387

第四章 常微分方程392

4.1 微分方程的基本概念392

一、引例392

二、基本概念395

三、积分曲线与方向场397

习题4.1400

4.2 一阶微分方程401

一、可分离变量的方程402

二、齐次方程406

三、一阶线性方程411

习题4.2419

4.3 可降阶的高阶微分方程421

一、y(n)=f(x)型421

二、yn=f(x,y')型422

三、yn=f(y,y')型425

习题4.3427

4.4 二阶齐次线性方程428

一、二阶齐次线性方程解的性质与结构428

二、二阶常系数齐次线性方程的解法432

习题4.4439

4.5 二阶非齐次线性方程440

一、二阶非齐次线性方程解的性质与结构440

二、二阶常系数非齐次线性方程的解法442

三、欧拉方程456

习题4.5458

4.6 数学实验460

实验一 常微分方程的数值解法460

实验二 人口增长模型465

实验三 鱼雷击舰问题470

复习题四470

习题答案473