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第一章　函数与极限1

1.1　初等函数1

一、邻域1

二、两个常用不等式1

三、函数2

四、初等函数7

习题1.18

1.2　数列的极限9

一、数列9

二、数列极限的定义10

三、收敛数列的性质12

四、收敛数列的运算法则14

习题1.215

1.3 函数的极限15

一、函数极限的定义15

二、函数极限的性质19

习题1.321

1.4　无穷小与无穷大21

一、无穷小与无穷大的概念21

二、无穷小的运算性质24

习题1.424

1.5　极限运算法则25

一、极限的四则运算25

二、复合函数的极限29

习题1.530

1.6　极限存在准则　两个重要极限31

一、极限存在准则31

二、两个重要极限33

习题1.637

1.7　无穷小比较37

一、无穷小比较的概念37

二、等价无穷小替代定理38

习题1.739

1.8　函数的连续性40

一、函数的连续性40

二、左、右连续41

三、连续函数41

四、函数的间断点42

五、连续函数的运算45

六、初等函数的连续性45

习题1.847

1.9　闭区间上连续函数的性质48

习题1.949

1.10　综合例题49

一、函数49

二、极限50

三、连续性56

第二章　导数与微分58

2.1　导数的概念58

一、导数概念的引进58

二、导数的定义60

三、导数的几何意义64

四、可导性与连续性的关系65

习题2.165

2.2　求导法则与基本导数公式67

一、导数的四则运算法则67

二、反函数的求导法则69

三、复合函数的求导法则70

四、初等函数的导数问题71

习题2.273

2.3　高阶导数74

一、高阶导数的概念74

二、几个初等函数的n阶导数公式76

三、高阶导数的求导法则76

习题2.378

2.4　隐函数与由参数方程确定的函数的导数以及相关变化率79

一、隐函数的求导法则79

二、对数求导法80

三、由参数方程确定的函数的求导法则81

四、相关变化率83

习题2.483

2.5　微分及其在近似计算中的应用84

一、微分的概念84

二、微分的几何意义87

三、基本微分公式与微分的运算法则87

四、微分在近似计算中的应用89

习题2.591

2.6　综合例题93

一、求分段函数与抽象函数的导数93

二、已知函数可导，求某极限或确定其中的待定常数98

三、已知某极限，求函数在某点处的导数99

四、关于导数存在的充要条件的讨论100

五、函数导数与微分的计算100

第三章 微分中值定理与导数的应用102

3.1　微分中值定理102

一、罗尔定理102

二、拉格朗日中值定理105

三、柯西中值定理107

习题3.1108

3.2　洛必达法则109

一、0/0型未定式109

二、∞/∞型未定式112

三、其他未定式113

习题3.2115

3.3　泰勒公式115

一、问题的提出115

二、泰勒公式117

三、几个常用的初等函数的泰勒公式119

习题3.3122

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性122

一、函数的单调性122

二、曲线的凹凸性与拐点124

习题3.4128

3.5 函数的极值与最大值、最小值129

一、函数的极值129

二、函数的最值132

三、极值应用的举例134

习题3.5136

3.6　函数图形的描绘137

一、曲线的渐近线137

二、函数图形的描绘139

习题3.6141

3.7　曲率142

一、弧微分142

二、曲率及其计算公式143

三、曲率半径与曲率圆146

习题3.7147

3.8　综合例题147

一、罗尔定理的推广147

二、中值命题的证明148

三、函数不等式与数值不等式的证明150

四、用洛必达法则、中值定理与泰勒公式求极限151

五、用导数讨论函数的性态153

六、用导数讨论方程的根155

七、证明函数与其导数的关系156

第四章　不定积分158

4.1　不定积分的概念与性质158

一、原函数与不定积分158

二、不定积分的运算法则与基本积分公式160

习题4.1163

4.2　换元积分法164

一、第一换元法（凑微分法）164

二、第二换元法（代换法）167

习题4.2171

4.3　分部积分法172

习题4.3176

4.4　有理函数的不定积分176

一、有理函数的不定积分176

二、简单无理函数与三角函数的不定积分179

习题4.4181

4.5　综合例题182

一、与原函数概念有关的问题182

二、用多种方法、技巧求不定积分184

第五章　定积分186

5.1　定积分的概念与性质186

一、定积分的概念186

二、定积分的性质190

习题5.1192

5.2　微积分基本定理193

一、积分上限函数193

二、微积分基本定理195

习题5.2197

5.3　定积分的换元积分法和分部积分法198

一、换元积分法198

二、分部积分法201

习题5.3202

5.4　反常积分与Г函数203

一、无穷限的反常积分203

二、无界函数的反常积分206

三、Г函数208

习题5.4210

5.5　综合例题211

一、与定积分概念性质相关的例题211

二、与积分上限函数相关的例题212

三、定积分计算、证明的方法与技巧的例题214

第六章　定积分的应用216

6.1　定积分在几何中的应用217

一、平面图形的面积217

二、立体的体积221

三、平面曲线的弧长223

习题6.1224

6.2　定积分在物理中的应用225

一、变力做的功225

二、水压力226

三、引力226

习题6.2227

6.3　综合例题228

第七章　微分方程232

7.1　微分方程的基本概念232

一、建立微分方程数学模型232

二、微分方程的基本概念233

习题7.1235

7.2　可分离变量的微分方程236

一、可分离变量的微分方程236

二、齐次方程238

习题7.2240

7.3　一阶线性微分方程240

一、一阶线性齐次微分方程的解法240

二、一阶线性非齐次微分方程的解法241

三、伯努利方程243

习题7.3244

7.4　可降阶的高阶微分方程244

一、y（n）＝f（x）型的微分方程245

二、不显含未知函数y的微分方程245

三、不显含自变量x的微分方程246

习题7.4247

7.5　二阶线性微分方程248

一、二阶线性齐次微分方程解的结构248

二、二阶线性非齐次微分方程解的结构249

习题7.5251

7.6　二阶常系数线性齐次微分方程251

习题7.6255

7.7　二阶常系数线性非齐次微分方程255

一、f(x)=Pn(x)eμx，其中μ是常数，Pn是n次多项式256

二、f(x)=eax[Pl（x）cosβx+Pn(x)sinβx]，其中α,β为常数，Pl,Pn分别为l,n次多项式258

习题7.7259

7.8　综合例题260

一、一阶微分方程的求解260

二、有关二阶微分方程解的例题262

习题参考答案与提示268